seleksi – nivotko

Seleksi IMC 2016 Hari Pertama Soal 2

Soal 2. Tentukan semua bilangan kompleks $z$ yang memenuhi $|z-|z+1||=|z+|z-1||$ .

Solusi.

Jawabannya adalah semua $z \in \{x \in \mathbb{R}:-1 \le x \le 1\} \cup \{yi: y \in \mathbb{R}\}$ .

Pertama, misalkan $|z+1|=a$ dan $|z-1|=b$ di mana $a,b \ge 0$ . Persamaan $|z-a|=|z+b|$ berakibat

$(z-a)(\overline{z}-\overline{a})=(z+b)(\overline{z}+\overline{b})$

$z\overline{z}-a(z+\overline{z})+a\overline{a}=z\overline{z}+b(z+\overline{z})+b\overline{b}$

$a^2-b^2=(a+b)(z+\overline{z})$

$a-b=z+\overline{z}$ .

Misalkan $z=x+yi$ untuk suatu bilangan real $x,y$ , maka persamaan terakhir dapat ditulis ulang menjadi

$\sqrt{(x+1)^2+y^2}-\sqrt{(x-1)^2+y^2}=2x$ (*)

Jika $x=0$ , maka ruas kiri maupun kanan persamaan akan bernilai $0$ , untuk berapapun nilai $y \in \mathbb{R}$ .

Jika $x \ne 0$ , maka

$\dfrac{4x}{\sqrt{(x+1)^2+y^2}+\sqrt{(x-1)^2+y^2}}=2x$

$2=\sqrt{(x+1)^2+y^2}+\sqrt{(x-1)^2+y^2}$ (**)

dan dari kedua persamaan (*) dan (**), diperoleh

$2\sqrt{(x+1)^2+y^2}=2x+2$

$y^2=0$ .

sehingga persamaan menjadi $|x+1|+|x-1|=2$ . Persamaan ini dipenuhi jika dan hanya jika $-1 \le x \le 1$ .

Dengan demikian, semua solusinya adalah $\{x \in \mathbb{R}:-1 \le x \le 1\} \cup \{yi:y \in \mathbb{R}\}$ . Diperiksa kembali ke persamaan awal pada soal, mudah dilihat bahwa memang nilai-nilai ini memenuhi syarat $z$ tersebut.

Seleksi IMC 2016 Hari Pertama Soal 3

Soal 3. Misalkan $F$ merupakan lapangan berhingga dengan $2^{2n}$ anggota.

(i) Tunjukkan bahwa ada $\alpha \in F$ demikian sehingga $\alpha^2+\alpha+1=0$ .

(ii) Apakah $x^4+x+1$ irreducible di $F[x]$ ?

Solusi.

(a)

Perhatikan bahwa $F-\{0\}$ merupakan subgrup cyclic dengan order $4^n-1$ . Karena $3|4^n-1$ , maka ada unsur $\alpha \in F-\{0\}$ dengan $\alpha \ne 1$ yang berorder $3$ . Dengan demikian, $\alpha^3=1$ . Namun, $(\alpha-1)(\alpha^2+\alpha+1)=0$ dan $\alpha-1 \ne 0$ . Jadi, $\alpha^2+\alpha+1=0$ .

(b)

Perhatikan bahwa

$(x^2+x+\alpha)(x^2+x+\alpha+1)=(x^2+x+\alpha)^2+ x^2+x+\alpha$

$=x^4+x^2+\alpha^2+x^2+x+\alpha$

$=x^4+x+1$ .

Jadi, $x^4+x+1$ reducible.

Seleksi IMC 2016 Hari Kedua Soal 5

Soal 5. Tinjau grup himpunan bilangan rasional terhadap operasi penjumlahan $(\mathbb{Q},+)$ .

(a) Tunjukkan bahwa terdapat koleksi subgrup $H_1,H_2,H_3\dots$ dari $\mathbb{Q}$ sehingga $H_i \ne \mathbb{Q}$ untuk setiap $i$ dan $\mathbb{Q}=H_1 \cup H_2 \cup H_3 \cup \dots$ .

(b) Adakah koleksi hingga subgrup $S_1,S_2,\dots,S_n$ dari $\mathbb{Q}$ sehingga $S_i \ne \mathbb{Q}$ untuk setiap $i$ dan $\mathbb{Q}=S_1 \cup S_2 \cup \dots \cup S_n$ ?

Solusi.

(a)

Misalkan $\displaystyle H_k = \{\dfrac{j}{k}: j \in \mathbb{Z}\}$ . Jelas bahwa $H_k$ merupakan subgrup. Selain itu, perhatikan bahwa $H_1 \cup H_2 \cup \dots = \mathbb{Q}$ .

(b)

Asumsikan ada. Misalkan $S_i \ne \mathbb{Q}$ , maka terdapat bilangan asli $n_i$ demikian sehingga $\dfrac{1}{k_i} \notin S_i$ . Pernyataan ini benar, karena jika seandainya $\dfrac{1}{k} \in S_i$ untuk semua bilangan asli $k$ , maka sifat grup $S_i$ mengakibatkan $S_i=\mathbb{Q}$ .

Misalkan $\mathbb{Q}=S_1 \cup S_2 \cup \dots \cup S_n$ , maka ada $\dfrac{1}{k_i} \notin S_i$ untuk $i=1,2,\dots,n$ . Selain itu, karena $\dfrac{1}{k_i} \notin S_i$ , maka untuk setiap bilangan asli $m$ berlaku pula $\dfrac{1}{mk_i} \notin S_i$ . Dari sini, diperoleh bahwa $\dfrac{1}{k_1k_2 \dots k_n} \notin S_i$ untuk setiap $i=1,2,\dots,n$ . Padahal, $\dfrac{1}{k_1 k_2 \dots k_n} \in \mathbb{Q}$ tetapi bukan anggota $S_1 \cup S_2 \cup \dots \cup S_n$ . Kontradiksi.

Seleksi IMC 2016

Terima kasih kepada M. Faikar M. A. (Universitas Negeri Malang) yang bersedia membagikan soalnya ke grup OSN Matematika PT. 🙂

Tes diadakan dua kali di dua hari berturutan. Masing-masing tes mengandung 5 soal dari bidang aljabar abstrak, aljabar linear, kombinatorika, analisis real, dan analisis kompleks. Durasi tes adalah 4 jam. Setiap soal berbobot sama.

Hari Pertama

Soal 1. Misalkan $f:(0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ merupakan fungsi yang terturunkan dua kali dan turunan keduanya kontinu demikian sehingga

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f'(x) = +\infty$ , dan

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f''(x) = - \infty$ .

Tunjukkan bahwa

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \dfrac{f'(x)}{f''(x)} = 0$ .

Soal 2. Tentukan semua bilangan kompleks $z$ yang memenuhi $|z-|z+1||=|z+|z-1||$ .

Soal 3. Misalkan $F$ merupakan lapangan berhingga dengan $2^{2n}$ anggota.

(i) Tunjukkan bahwa ada $\alpha \in F$ demikian sehingga $\alpha^2+\alpha+1=0$ .

(ii) Apakah $x^4+x+1$ irreducible di $F[x]$ ?

Soal 4. Sebuah $n-$ board adalah sebuah persegi panjang berukuran $n \times 1$ . Misalkan $g_n$ menyatakan banyak cara mengubin $n-$ board dengan menggunakan ubin $1 \times 1$ dan $2 \times 1$ . Jadi, $g_1=1$ dan $g_2=2$ . Untuk $n \ge 0$ , perlihatkan bahwa

$\displaystyle g_n = \sum_{i \ge 0} \sum_{j \ge 0} {n-i \choose j} {n-j \choose i}.$

Soal 5. Misalkan $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ matriks tak singular dan $\overline{A}$ merupakan matriks yang diperoleh dengan mengganti setiap komponen $A$ dengan konjugatnya. Misalkan $\lambda$ merupakan bilangan real negatif. Jika $\lambda$ merupakan nilai eigen dari $A\overline{A}$ , tunjukkan bahwa multiplisitas aljabarnya genap.

Hari Kedua

Soal 1. Misalkan $n$ merupakan bilangan bulat positif dan $k$ merupakan bilangan bulat tak negatif dengan $0 \le k \le n/2$ . Buktikan bahwa

$\displaystyle \sum_{m=k}^{n-k} {m \choose k}{n-m \choose k} = {n+1 \choose 2k+1}.$

Soal 2. Diberikan fungsi $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ yang terdiferensialkan dan $f(a)=0$ . Misalkan terdapat $A>0$ dan $k>0$ sehingga $|f'(x)-kf(x)| \le A|f(x)|$ untuk setiap $x \in [a,b]$ . Buktikan bahwa $f(x)=0$ untuk setiap $x \in [a,b]$ .

Soal 3. Misalkan $0<r<R$ merupakan konstanta dan $\gamma$ adalah lingkaran $|z|=r$ . Tunjukkan bahwa

$\displaystyle \int_\gamma \dfrac{R+z}{Rz-z^2}dz = 2\pi i$

dan

$\displaystyle \dfrac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \dfrac{R^2-r^2}{R^2+r^2-2Rr \cos \theta}d\theta =1.$

Soal 4. Misalkan $V$ merupakan ruang vektor atas bilangan real dan $\{v_1,v_2,\dots,v_k\}$ merupakan subhimpunan yang bebas linear dari $V$ . Untuk suatu nilai tetap $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$ dengan $\alpha \ne 0$ , definisikan

$u_i = \alpha \sum_{j \ne i} v_j+\beta v_i$

untuk setiap $i=1,2,\dots,k$ . Tentukan semua semua kemungkinan dimensi subruang yang direntang oleh $u_1,u_2,\dots,u_k$ .

Soal 5. Tinjau grup himpunan bilangan rasional terhadap operasi penjumlahan $(\mathbb{Q},+)$ .

(a) Tunjukkan bahwa terdapat koleksi subgrup $H_1,H_2,H_3\dots$ dari $\mathbb{Q}$ sehingga $H_i \ne \mathbb{Q}$ untuk setiap $i$ dan $\mathbb{Q}=H_1 \cup H_2 \cup H_3 \cup \dots$ .

(b) Adakah koleksi hingga subgrup $S_1,S_2,\dots,S_n$ dari $\mathbb{Q}$ sehingga $S_i \ne \mathbb{Q}$ untuk setiap $i$ dan $\mathbb{Q}=S_1 \cup S_2 \cup \dots \cup S_n$ ?