onmipa pt – nivotko

Terima kasih kepada M. Faikar M. A. (Universitas Negeri Malang) yang bersedia membagikan soalnya ke grup OSN Matematika PT. 🙂

Tes diadakan dua kali di dua hari berturutan. Masing-masing tes mengandung 5 soal dari bidang aljabar abstrak, aljabar linear, kombinatorika, analisis real, dan analisis kompleks. Durasi tes adalah 4 jam. Setiap soal berbobot sama.

Hari Pertama

Soal 1. Misalkan $f:(0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ merupakan fungsi yang terturunkan dua kali dan turunan keduanya kontinu demikian sehingga

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f'(x) = +\infty$ , dan

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f''(x) = - \infty$ .

Tunjukkan bahwa

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \dfrac{f'(x)}{f''(x)} = 0$ .

Soal 2. Tentukan semua bilangan kompleks $z$ yang memenuhi $|z-|z+1||=|z+|z-1||$ .

Soal 3. Misalkan $F$ merupakan lapangan berhingga dengan $2^{2n}$ anggota.

(i) Tunjukkan bahwa ada $\alpha \in F$ demikian sehingga $\alpha^2+\alpha+1=0$ .

(ii) Apakah $x^4+x+1$ irreducible di $F[x]$ ?

Soal 4. Sebuah $n-$ board adalah sebuah persegi panjang berukuran $n \times 1$ . Misalkan $g_n$ menyatakan banyak cara mengubin $n-$ board dengan menggunakan ubin $1 \times 1$ dan $2 \times 1$ . Jadi, $g_1=1$ dan $g_2=2$ . Untuk $n \ge 0$ , perlihatkan bahwa

$\displaystyle g_n = \sum_{i \ge 0} \sum_{j \ge 0} {n-i \choose j} {n-j \choose i}.$

Soal 5. Misalkan $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ matriks tak singular dan $\overline{A}$ merupakan matriks yang diperoleh dengan mengganti setiap komponen $A$ dengan konjugatnya. Misalkan $\lambda$ merupakan bilangan real negatif. Jika $\lambda$ merupakan nilai eigen dari $A\overline{A}$ , tunjukkan bahwa multiplisitas aljabarnya genap.

Hari Kedua

Soal 1. Misalkan $n$ merupakan bilangan bulat positif dan $k$ merupakan bilangan bulat tak negatif dengan $0 \le k \le n/2$ . Buktikan bahwa

$\displaystyle \sum_{m=k}^{n-k} {m \choose k}{n-m \choose k} = {n+1 \choose 2k+1}.$

Soal 2. Diberikan fungsi $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ yang terdiferensialkan dan $f(a)=0$ . Misalkan terdapat $A>0$ dan $k>0$ sehingga $|f'(x)-kf(x)| \le A|f(x)|$ untuk setiap $x \in [a,b]$ . Buktikan bahwa $f(x)=0$ untuk setiap $x \in [a,b]$ .

Soal 3. Misalkan $0<r<R$ merupakan konstanta dan $\gamma$ adalah lingkaran $|z|=r$ . Tunjukkan bahwa

$\displaystyle \int_\gamma \dfrac{R+z}{Rz-z^2}dz = 2\pi i$

dan

$\displaystyle \dfrac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \dfrac{R^2-r^2}{R^2+r^2-2Rr \cos \theta}d\theta =1.$

Soal 4. Misalkan $V$ merupakan ruang vektor atas bilangan real dan $\{v_1,v_2,\dots,v_k\}$ merupakan subhimpunan yang bebas linear dari $V$ . Untuk suatu nilai tetap $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$ dengan $\alpha \ne 0$ , definisikan

$u_i = \alpha \sum_{j \ne i} v_j+\beta v_i$

untuk setiap $i=1,2,\dots,k$ . Tentukan semua semua kemungkinan dimensi subruang yang direntang oleh $u_1,u_2,\dots,u_k$ .

Soal 5. Tinjau grup himpunan bilangan rasional terhadap operasi penjumlahan $(\mathbb{Q},+)$ .

(a) Tunjukkan bahwa terdapat koleksi subgrup $H_1,H_2,H_3\dots$ dari $\mathbb{Q}$ sehingga $H_i \ne \mathbb{Q}$ untuk setiap $i$ dan $\mathbb{Q}=H_1 \cup H_2 \cup H_3 \cup \dots$ .

(b) Adakah koleksi hingga subgrup $S_1,S_2,\dots,S_n$ dari $\mathbb{Q}$ sehingga $S_i \ne \mathbb{Q}$ untuk setiap $i$ dan $\mathbb{Q}=S_1 \cup S_2 \cup \dots \cup S_n$ ?

Tag: onmipa pt

Seleksi IMC 2016 Hari Pertama Soal 3

Seleksi IMC 2016