Seleksi IMC 2016

Terima kasih kepada M. Faikar M. A. (Universitas Negeri Malang) yang bersedia  membagikan soalnya ke grup OSN Matematika PT. 🙂

Tes diadakan dua kali di dua hari berturutan. Masing-masing tes mengandung 5 soal dari bidang aljabar abstrak, aljabar linear, kombinatorika, analisis real, dan analisis kompleks. Durasi tes adalah 4 jam. Setiap soal berbobot sama.

Hari Pertama

Soal 1. Misalkan f:(0,\infty) \rightarrow \mathbb{R} merupakan fungsi yang terturunkan dua kali dan turunan keduanya kontinu demikian sehingga

\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f'(x) = +\infty, dan

\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f''(x) = - \infty.

Tunjukkan bahwa

\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \dfrac{f'(x)}{f''(x)} = 0.

Soal 2. Tentukan semua bilangan kompleks z yang memenuhi |z-|z+1||=|z+|z-1||.

Soal 3. Misalkan F merupakan lapangan berhingga dengan 2^{2n} anggota.

(i) Tunjukkan bahwa ada \alpha \in F demikian sehingga \alpha^2+\alpha+1=0.

(ii) Apakah x^4+x+1 irreducible di F[x]?

Soal 4. Sebuah n-board adalah sebuah persegi panjang berukuran n \times 1. Misalkan g_n menyatakan banyak cara mengubin n-board dengan menggunakan ubin 1 \times 1 dan 2 \times 1. Jadi, g_1=1 dan g_2=2. Untuk n \ge 0, perlihatkan bahwa

\displaystyle g_n = \sum_{i \ge 0} \sum_{j \ge 0} {n-i \choose j} {n-j \choose i}.

Soal 5. Misalkan A \in \mathbb{C}^{n \times n} matriks tak singular dan \overline{A} merupakan matriks yang diperoleh dengan mengganti setiap komponen A dengan konjugatnya. Misalkan \lambda merupakan bilangan real negatif. Jika \lambda merupakan nilai eigen dari A\overline{A}, tunjukkan bahwa multiplisitas aljabarnya genap.

Hari Kedua

Soal 1. Misalkan n merupakan bilangan bulat positif dan k merupakan bilangan bulat tak negatif dengan 0 \le k \le n/2. Buktikan bahwa

\displaystyle \sum_{m=k}^{n-k} {m \choose k}{n-m \choose k} = {n+1 \choose 2k+1}.

Soal 2. Diberikan fungsi f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} yang terdiferensialkan dan f(a)=0. Misalkan terdapat A>0 dan k>0 sehingga |f'(x)-kf(x)| \le A|f(x)| untuk setiap x \in [a,b]. Buktikan bahwa f(x)=0 untuk setiap x \in [a,b].

Soal 3. Misalkan 0<r<R merupakan konstanta dan \gamma adalah lingkaran |z|=r. Tunjukkan bahwa

\displaystyle \int_\gamma \dfrac{R+z}{Rz-z^2}dz = 2\pi i

dan

\displaystyle \dfrac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \dfrac{R^2-r^2}{R^2+r^2-2Rr \cos \theta}d\theta =1.

Soal 4. Misalkan V merupakan ruang vektor atas bilangan real dan \{v_1,v_2,\dots,v_k\} merupakan subhimpunan yang bebas linear dari V. Untuk suatu nilai tetap \alpha,\beta \in \mathbb{R} dengan \alpha \ne 0, definisikan

u_i = \alpha \sum_{j \ne i} v_j+\beta v_i

untuk setiap i=1,2,\dots,k. Tentukan semua semua kemungkinan dimensi subruang yang direntang oleh u_1,u_2,\dots,u_k.

Soal 5. Tinjau grup himpunan bilangan rasional  terhadap operasi penjumlahan (\mathbb{Q},+).

(a) Tunjukkan bahwa terdapat koleksi subgrup H_1,H_2,H_3\dots dari \mathbb{Q} sehingga H_i \ne \mathbb{Q} untuk setiap i dan \mathbb{Q}=H_1 \cup H_2 \cup H_3 \cup \dots.

(b) Adakah koleksi hingga subgrup S_1,S_2,\dots,S_n dari \mathbb{Q} sehingga S_i \ne \mathbb{Q} untuk setiap i dan \mathbb{Q}=S_1 \cup S_2 \cup \dots \cup S_n?

 

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s