Seleksi IMC 2016 Hari Pertama Soal 2

Soal 2. Tentukan semua bilangan kompleks z yang memenuhi |z-|z+1||=|z+|z-1||.

Solusi.

Jawabannya adalah semua z \in \{x \in \mathbb{R}:-1 \le x \le 1\} \cup \{yi: y \in \mathbb{R}\}.

Pertama, misalkan |z+1|=a dan |z-1|=b di mana a,b \ge 0. Persamaan |z-a|=|z+b| berakibat

(z-a)(\overline{z}-\overline{a})=(z+b)(\overline{z}+\overline{b})

z\overline{z}-a(z+\overline{z})+a\overline{a}=z\overline{z}+b(z+\overline{z})+b\overline{b}

a^2-b^2=(a+b)(z+\overline{z})

a-b=z+\overline{z}.

Misalkan z=x+yi untuk suatu bilangan real x,y, maka persamaan terakhir dapat ditulis ulang menjadi

\sqrt{(x+1)^2+y^2}-\sqrt{(x-1)^2+y^2}=2x (*)

Jika x=0, maka ruas kiri maupun kanan persamaan akan bernilai 0, untuk berapapun nilai y \in \mathbb{R}.

Jika x \ne 0, maka

\dfrac{4x}{\sqrt{(x+1)^2+y^2}+\sqrt{(x-1)^2+y^2}}=2x

2=\sqrt{(x+1)^2+y^2}+\sqrt{(x-1)^2+y^2} (**)

dan dari kedua persamaan (*) dan (**), diperoleh

2\sqrt{(x+1)^2+y^2}=2x+2

y^2=0.

sehingga persamaan menjadi |x+1|+|x-1|=2. Persamaan ini dipenuhi jika dan hanya jika -1 \le x \le 1.

Dengan demikian, semua solusinya adalah \{x \in \mathbb{R}:-1 \le x \le 1\} \cup \{yi:y \in \mathbb{R}\}. Diperiksa kembali ke persamaan awal pada soal, mudah dilihat bahwa memang nilai-nilai ini memenuhi syarat z tersebut.

Advertisements
This entry was posted in Uncategorized and tagged , , , , , , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s