Seleksi IMC 2016 Hari Pertama Soal 3

Soal 3. Misalkan F merupakan lapangan berhingga dengan 2^{2n} anggota.

(i) Tunjukkan bahwa ada \alpha \in F demikian sehingga \alpha^2+\alpha+1=0.

(ii) Apakah x^4+x+1 irreducible di F[x]?

Solusi.

(a)

Perhatikan bahwa F-\{0\} merupakan subgrup cyclic dengan order 4^n-1. Karena 3|4^n-1, maka ada unsur \alpha \in F-\{0\} dengan \alpha \ne 1 yang berorder 3. Dengan demikian, \alpha^3=1. Namun, (\alpha-1)(\alpha^2+\alpha+1)=0 dan \alpha-1 \ne 0. Jadi, \alpha^2+\alpha+1=0.

(b)

Perhatikan bahwa

(x^2+x+\alpha)(x^2+x+\alpha+1)=(x^2+x+\alpha)^2+ x^2+x+\alpha

=x^4+x^2+\alpha^2+x^2+x+\alpha

=x^4+x+1.

Jadi, x^4+x+1 reducible.

Advertisements
This entry was posted in Uncategorized and tagged , , , , , , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s