OSN 2020 baru saja berlangsung dan diadakan secara virtual. Senang sekali ada soal polinomial di OSN kali ini. Berikut adalah soalnya.
Soal. Misalkan bilangan real dan
. Jika
, dan
, buktikan bahwa
.
Jawaban. Jika ada yang sama, maka
sehingga persamaan yang ingin dibuktikan pasti benar. Asumsikan
merupakan tiga bilangan real yang berbeda-beda.
Misalkan .
Karena sehingga
. Dengan cara serupa,
.
Jika , maka
. Namun ini berarti,
ada yang sama. Kontradiksi dengan asumsi yang kita ambil terakhir bahwa
berbeda-beda.
Asumsikan , maka
dan
punya maksimum tiga akar. Karena
berbeda-beda, maka ketiga akarnya adalah
. Karena koefisien utama (koefisien dari
) dari
adalah
, maka
.
Membandingkan kedua representasi , perhatikan bahwa
.
Jadi, diperoleh
… (i)
… (ii)
… (iii)
Karena , cukup ditunjukkan
. Asumsikan
.
Dari persamaan (iii), . Karena
, maka
atau
.
Jika , maka dari persamaan (ii),
. Kontradiksi dengan
.
Jika , maka dari persamaan (ii),
sehingga
. Jadi
atau
. Karena
, maka
. Dari persamaan (i), karena
dan
, diperoleh
yang mengakibatkan
, kontradiksi lagi dengan
.
Jadi, haruslah dan karena
, berlaku
, jika
semuanya berbeda-beda.
Menyimpulkan semuanya, diperoleh .
Catatan: Soal yang cukup baik untuk OSN meskipun banyak “jurang jebakan” yang bisa menyesatkan peserta dari mendapatkan kesimpulan yang tepat.