Seleksi IMC 2016 Hari Kedua Soal 5

Soal 5. Tinjau grup himpunan bilangan rasional  terhadap operasi penjumlahan (\mathbb{Q},+).

(a) Tunjukkan bahwa terdapat koleksi subgrup H_1,H_2,H_3\dots dari \mathbb{Q} sehingga H_i \ne \mathbb{Q} untuk setiap i dan \mathbb{Q}=H_1 \cup H_2 \cup H_3 \cup \dots.

(b) Adakah koleksi hingga subgrup S_1,S_2,\dots,S_n dari \mathbb{Q} sehingga S_i \ne \mathbb{Q} untuk setiap i dan \mathbb{Q}=S_1 \cup S_2 \cup \dots \cup S_n?

Solusi.

(a)

Misalkan \displaystyle H_k = \{\dfrac{j}{k}: j \in \mathbb{Z}\}. Jelas bahwa H_k merupakan subgrup. Selain itu, perhatikan bahwa H_1 \cup H_2 \cup \dots = \mathbb{Q}.

(b)

Asumsikan ada. Misalkan S_i \ne \mathbb{Q}, maka terdapat bilangan asli n_i demikian sehingga \dfrac{1}{k_i} \notin S_i. Pernyataan ini benar, karena jika seandainya \dfrac{1}{k} \in S_i untuk semua bilangan asli k, maka sifat grup S_i mengakibatkan S_i=\mathbb{Q}.

Misalkan \mathbb{Q}=S_1 \cup S_2 \cup \dots \cup S_n, maka ada \dfrac{1}{k_i} \notin S_i untuk i=1,2,\dots,n. Selain itu, karena \dfrac{1}{k_i} \notin S_i, maka untuk setiap bilangan asli m berlaku pula \dfrac{1}{mk_i} \notin S_i. Dari sini, diperoleh bahwa \dfrac{1}{k_1k_2 \dots k_n} \notin S_i untuk setiap i=1,2,\dots,n. Padahal, \dfrac{1}{k_1 k_2 \dots k_n} \in \mathbb{Q} tetapi bukan anggota S_1 \cup S_2 \cup \dots \cup S_n. Kontradiksi.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s