OSN 2017 Matematika Hari Pertama (Soal dan Solusi)

Silakan unduh soal dan solusinya di sini: osn2017h1.pdf.

 

Advertisements

Soal OSP 2016 Matematika SMA

Soal. Tentukan banyaknya pasangan terurut bilangan asli (a,b,c,d) yang memenuhi

ab+bc+cd+da=2016.

Catatan: Jawaban dalam bentuk paling sederhana.

Jawaban:

Perhatikan bahwa (a+c)(b+d)=2016 dan a+c,b+d>2. Maka haruslah

a+b=k

c+d=\dfrac{2016}{k}

untuk suatu pembagi positif k dari 2016 dengan 1 < k < 2016. Misalkan S adalah himpunan semua k yang demikian.

Dengan demikian, banyak pasangan terurut bilangan asli (a,b,c,d) yang memenuhi adalah

\displaystyle \sum_{k \in S} \left(k-1\right)\left(\dfrac{2016}{k}-1\right)

\left(\displaystyle \sum_{k \in S} 2016-k-\dfrac{2016}{k}+1\right)

\displaystyle \sum_{k \in S} 2017 - \sum_{k \in S} k - \sum_{k \in S} \dfrac{2016}{k}

\displaystyle \sum_{k \in S} 2017 - 2 \sum_{k \in S} k

Perhatikan bahwa karena 2016=2^5 \cdotp 3^2 \cdotp 7, maka

|S|=(5+1)(2+1)(1+1)-2=34

dan

\displaystyle \sum_{k \in S} k = (2^5+2^4+2^3+2^2+2+1)(3^2+3+1)(7+1)-1-2016=4535.

Jadi, banyaknya adalah

2017 \cdotp 34 - 2 \cdotp 4535=68578-9070=59508.

Refleksi.

Soal ini adalah salah satu soal saya yang masuk jadi soal OSP dan ditaruh di nomor 2 Bagian Esai. Semoga ada banyak peserta yang bisa. Saat pertama kali mengajukan soal ini, sebenarnya ingin diajukan untuk OSK kemarin, namun diprotes sepertinya terlalu kejam untuk OSK.

Selain itu, dari segi ilmiah, soal ini menawarkan beberapa informasi menarik terkait fungsi aritmetika. Proposal asli saya untuk soal ini di OSP adalah sebagai berikut.

Diberikan bilangan asli n>1. Tunjukkan bahwa banyaknya pasangan terurut bilangan asli (a,b,c,d) yang memenuhi

ab+bc+cd+da=n

adalah (n+1)\tau(n)-2\sigma(n).

Catatan: \tau(n) menyatakan banyak pembagi positif dari n dan \sigma(n) menyatakan hasil jumlah semua pembagi positif dari n.

Buktinya sama saja dengan soal di atas. Namun, rasanya bentuk fungsi tersebut sangat intimidatif untuk anak SMA yang masih cukup mentah matematikanya, padahal siapa tahu anak tersebut berbakat. Oleh karena itu, dibuatlah n berupa bilangan. Kita pilih 2016 saja, namun tidak dicoba apakah soal ini memakan cukup banyak waktu jika dikuli. Seharusnya sih cukup riskan untuk dikuli terkait kesalahan aritmetika untuk 34 pembagi positif dari 2016.

Selain itu, dari pernyataan soal kita dapat membuat beberapa soal lagi, di antaranya sebagai berikut:

Soal alternatif 1. Cari semua bilangan asli n demikian sehingga (n+1)\tau(n)=2 \sigma(n).

Jawabannya adalah 1 dan sembarang bilangan prima. Cukup mudah terlihat jika dianalogikan ke soal ab+bc+cd+da=n.

Soal alternatif 2. Diberikan bilangan asli k. Tunjukkan bahwa ada berhingga banyaknya bilangan asli n demikian sehingga (n+1)\sigma(n)=2\sigma(n)+k. Cari semua solusi untuk k=1,2,3,4,5,\dots (sesuai keisengan si pembuat soal).

Nah, soal ini butuh lebih banyak analisis dibandingkan Soal Alternatif 1. Mungkin ada yang mau mencoba? 🙂

OSK Bidang Matematika 2016

Di Olimpiade Sains Kota Bidang Matematika Tingkat SMA tahun ini, ada soal yang terpilih dan kuncinya salah. Itu adalah soal saya. Berikut adalah soalnya.

Soal. Banyaknya bilangan asli n \in \{1,2,3,\dots,1000\} sehingga terdapat bilangan real positif x yang memenuhi x^2+\lfloor x \rfloor^2=n adalah ….

Di kunci jawabannya, tertulis 528. Saya salah membuat kunci jawaban karena salah mengambil batas untuk kasus ujung di sekitar 1000. Berikut adalah solusi yang sebenarnya.

Perhatikan bahwa x=\sqrt{n-\lfloor x \rfloor^2} sehingga x=\sqrt{m}  untuk suatu bilangan asli m. Misalkan m=k^2+l dengan 0 \le l \le 2k, perhatikan bahwa setiap m dapat dinyatakan dengan unik oleh pasangan (k,l) ini (pikirkan jarak antara dua bilangan kuadrat). Sekarang, persamaan akan menjadi 2k^2+l=n. Misalkan suatu bilangan asli n memiliki dua cara penulisan 2k^2+l dengan 0 \le l \le 2k, sebut saja 2a^2+b=2c^2+d=n dengan 0\le b \le 2a, 0 \le d \le 2c. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan a>c, maka jelas bahwa b<d. Perhatikan bahwa ini berakibat 2(a^2-c^2)=d-b. Namun, 2(a^2-c^2)=2(a-c)(a+c) \ge 2(a+c)>2a. Tapi, d-b<d \le 2c < 2a. Kontradiksi. Jadi, haruslah representasi 2k^2+l ini unik. Berarti untuk setiap k dengan 2k^2 \le 2k^2+l \le 1000, yaitu k \le 22, ada sebanyak 2k+1 bilangan l yang memenuhi kecuali, untuk k=22, karena batas 1000 ini, haruslah 2 \cdotp 22^2+l \le 1000, yaitu l \le 32, sehingga ada 33 bilangan yang memenuhi. Jadi, banyaknya bilangan asli n yang memenuhi adalah

\displaystyle \sum_{k=1}^{21} (2k+1)+32=22^2-1+33=516.

Refleksi

Ini akan berbeda jika kita tidak mengganti batas untuk k=21, jawabannya menjadi

\displaystyle \sum_{k=1}^{21} (2k+1)=528,

yang merupakan kunci jawaban pada ujian OSK tahun ini. Ketika itu, sebenarnya kuncinya juga salah; tertulis 529. Namun, sempat diperbaiki. Namun, ternyata kesalahan minor ini membuat kesalahan mayornya tertutupi, yaitu mengganti batas untuk kasus ujung.

Pastinya ada pihak-pihak yang dirugikan karena kesalahan ini. Untuk itu, saya secara personal meminta maaf atas kesalahan ini. Kita sudah berusaha untuk meminimalisir kesalahan pada saat menyusun soal namun ternyata masih ada yang tergelincir seperti ini.