Paradoks Russell

Biasanya…

Di sekolah, secara abstrak, kita biasanya mendefinisikan sebuah himpunan dengan cara menyatakan suatu properti P yang harus dipenuhi dan hanya dipenuhi oleh semua anggota himpunan tersebut; kita tulis himpunan tersebut dengan notasi

\{x | P(x)\}.

Contoh, misalkan A=\{x | (x \in \mathbb{N}) \text{ dan } (x>3)\} adalah suatu himpunan dengan resep yang jelas. Kita pun bisa memeriksa bahwa 5 merupakan anggota dari himpunan A, atau kita tulis 5 \in A. Kita juga bisa memeriksa bahwa 0 bukan anggota dari himpunan A, dan kita tulis 0 \notin A.

Sedikit logika dan refleksi

Ingat bahwa notasi a \in b berarti a merupakan anggota dari b; dan a \notin b berarti a bukan anggota dari b. Logika matematika menyatakan bahwa untuk sembarang objek a dan b, kita harus punyai a \in b atau a \notin b (sesuatu bernilai benar atau salah di matematika), dan tidak boleh keduanya sekaligus!

Intuisi kita mengatakan bahwa kita bisa membuat himpunan atau koleksi objek dengan “resep” P sesuka hati kita seperti di atas; kita definisikan saja himpunan apa dengan anggota-anggotanya seperti apa. Nanti, kalau kita dikasih suatu objek (apapun), kita bisa menentukan nantinya dengan mengecek resep P tadi apakah objek ini anggota himpunan kamu atau bukan. That’s all the essence of playing with sets in mathematics, right? (Bahkan, kalau kamu merupakan matematikawan, pasti kamu tahu seberapa pentingnya himpunan dalam hidupmu 😉 ).

The Paradox

Tahun 1901, filsuf dan matematikawan Bertrand Russell menemukan paradoks jika kita mengadopsi intuisi ini. Artinya, intuisi kita perlu diperbaiki. Berikut adalah permasalahan yang dia temukan.

Pandang himpunan

Y=\{x | x \notin x\}.

Dalam bahasa sehari-hari, Y merupakan himpunan semua objek (himpunan) x yang tidak mengandung dirinya sendiri.

Sekarang, pertanyaannya adalah apakah Y \in Y? Kita coba berandai-andai; kan hanya ada dua kemungkinan: Y \in Y atau Y \notin Y. Mana yang sebenarnya?

Andaikan yang pertama:  Y \in Y. Karena Y anggota dari Y, maka Y memenuhi resep keanggotaan Y itu sendiri; namun resep itu mengatakan bahwa Y \notin Y. Kontradiktif! Jadi, andaian ini tidak mungkin,

Oke, bagaimana kalau kita andaikan yang kedua: Y \notin Y. Oke, ternyata Y memenuhi resep keanggotaan himpunan Y yang kita definisikan tadi; jadi harusnya Y \in Y. Kontradiktif lagi! Jadi, andaian ini juga tidak mungkin.

Kita sudah menciptakan sesuatu yang bernama Y yang kita pikir merupakan himpunan, namun kita tidak bisa mengatakan apakah Y \in Y maupun Y \notin Y. Ini kan ngawur?

Jadi, objek apakah Y ini sebenarnya? Apakah dia pantas disebut sebuah himpunan? Atau bahkan, apakah dia pantas disebut sebagai objek di dunia matematika? Or maybe we should drop mathematical theory as it is mere bullshit? Mungkin himpunan-himpunan yang didefinisikan para pakar matematika itu semuanya kontradiktif dengan dirinya sendiri?

Lahirnya Set Theory

Paradoks Russell ini menjadi benih kelahiran bidang kajian yang sangat besar di bidang logika dan fondasi matematika yang disebut Teori Himpunan (terjemahan: Set Theory).

Teori himpunan adalah bidang kajian yang mencoba memberi aturan tentang apa yang merupakan himpunan dan bukan dan membangun (ulang) matematika dengan aturan-aturan tersebut. Dengan teori himpunan, kita bisa secara formal menceritakan konsep bilangan, konsep ketakhinggaan (infinity), dan melihat secara detail keanehan-keanehan yang terjadi di matematika.

Salah satu teori yang secara sosial diterima para pakar matematika sebagai fondasi matematika adalah teori ZFC (Zermelo-Fraenkel theory + Axiom of Choice). Bisa jadi satu buku sih kalau saya menulis tentang ZFC, tapi saya akan dengan senang hati menulis tulisan sedikit demi sedikit tentang teori ini di blog post selanjut-selanjutnya tentang dalam seri #logika. Ditunggu ya. 😉

 

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

w

Connecting to %s