Salah mendefinisikan himpunan

Beberapa hari yang lalu saya (akhirnya pernah) mengerjakan soal matematika dengan mendefinisikan kelas/koleksi yang saya pikir merupakan himpunan, namun ternyata bukan. (Ini seakan-akan sebuah pencapaian tersendiri sebagai orang yang belajar logika hahaha). Awalnya saya bingung asisten dosennya menulis komentar bahwa yang saya definisikan itu bukan himpunan, kemudian saya berpikir mengapa itu bukan himpunan. Setelah berdiskusi dengan teman saya, Anna dan Marvin, saat makan siang, baru benar-benar yakin kalau yang saya definisikan bukan himpunan.

Salah satu intuisi paling mudah sesuatu itu bukan himpunan adalah bahwa ia merupakan koleksi yang “terlalu besar” untuk menjadi sebuah himpunan. Misalnya koleksi semua himpunan bukanlah sebuah himpunan. Koleksi semua kardinal atau ordinal juga bukan sebuah himpunan.

Nah, soal yang saya kerjakan ini adalah soal PR Teori Model. Saya membuktikan bahwa jika ada suatu model B  terhadap teori T sehingga teori tentang B tidak konsisten dengan A, maka ada suatu formula \varphi_B di teori tentang B yang tidak konsisten juga dengan A. Kemudian, yang saya lakukan adalah mengambil semua formula \varphi_B dari setiap model B dari T, d.k.l.

S=\{\varphi_B: B \vDash T\}.

Dari konstruksi S ini, S bukanlah sebuah himpunan jika T punya model dengan kardinalitas tak hingga. Mengapa? Karena menurut Teorema Skolem-Loewenheim versi upward maupun downward, jika T memiliki suatu model tak hingga, maka untuk sembarang kardinal tak hingga \kappa, maka T akan memiliki model dengan kardinalitas \kappa. Ini berarti, S memuat model dengan hampir semua kardinal. Ini mengindikasikan konstruksi S ini bukan merupakan himpunan.

Terus kenapa kalau S bukan himpunan? Ya, intinya kita belum tentu boleh mengaplikasikan operasi-operasi yang valid untuk himpunan kepada S, seperti tidak bisa mengambil subhimpunan dari S dengan properti tertentu. It is black magic!

 

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s