Salah mendefinisikan himpunan

Beberapa hari yang lalu saya (akhirnya pernah) mengerjakan soal matematika dengan mendefinisikan kelas/koleksi yang saya pikir merupakan himpunan, namun ternyata bukan. (Ini seakan-akan sebuah pencapaian tersendiri sebagai orang yang belajar logika hahaha). Awalnya saya bingung asisten dosennya menulis komentar bahwa yang saya definisikan itu bukan himpunan, kemudian saya berpikir mengapa itu bukan himpunan. Setelah berdiskusi dengan teman saya, Anna dan Marvin, saat makan siang, baru benar-benar yakin kalau yang saya definisikan bukan himpunan.

Salah satu intuisi paling mudah sesuatu itu bukan himpunan adalah bahwa ia merupakan koleksi yang “terlalu besar” untuk menjadi sebuah himpunan. Misalnya koleksi semua himpunan bukanlah sebuah himpunan. Koleksi semua kardinal atau ordinal juga bukan sebuah himpunan.

Nah, soal yang saya kerjakan ini adalah soal PR Teori Model. Saya membuktikan bahwa jika ada suatu model B  terhadap teori T sehingga teori tentang B tidak konsisten dengan A, maka ada suatu formula \varphi_B di teori tentang B yang tidak konsisten juga dengan A. Kemudian, yang saya lakukan adalah mengambil semua formula \varphi_B dari setiap model B dari T, d.k.l.

S=\{\varphi_B: B \vDash T\}.

Dari konstruksi S ini, S bukanlah sebuah himpunan jika T punya model dengan kardinalitas tak hingga. Mengapa? Karena menurut Teorema Skolem-Loewenheim versi upward maupun downward, jika T memiliki suatu model tak hingga, maka untuk sembarang kardinal tak hingga \kappa, maka T akan memiliki model dengan kardinalitas \kappa. Ini berarti, S memuat model dengan hampir semua kardinal. Ini mengindikasikan konstruksi S ini bukan merupakan himpunan.

Terus kenapa kalau S bukan himpunan? Ya, intinya kita belum tentu boleh mengaplikasikan operasi-operasi yang valid untuk himpunan kepada S, seperti tidak bisa mengambil subhimpunan dari S dengan properti tertentu. It is black magic!

 

Advertisements

Karya tahun 2008 (omg)

Tahun 2008 mungkin dikenal dengan masa-masa kealayan. Orang-orang baru mulai mengenal Facebook (dan meninggalkan Friendster).

Bagi saya, tahun 2008 (dan mungkin 2007) adalah masa di mana (selain juga mejadi alay), saya juga mulai menekuni bidang matematika! Saya agak freak waktu itu karena belajar matematika sampai larut malam hampir setiap hari. Well, rumah saya agak jauh ya dari pusat ibu kota Pekanbaru jadi jalan-jalan juga malas dan jarang 😛

Saya ingat dulu suka bikin kompilasi soal-soal olimpiade. Nah, ternyata masih beredar di internet! Berikut adalah tautannya:

https://matematikaict.files.wordpress.com/2009/05/soal-latihan-olimpiade-matematika-100-soal.pdf

OMG. Nostalgia abis!

Meskipun hal ini merupakan hal yang bisa ditertawakan, menurut saya menerjemahkan soal-soal olimpiade dari bahasa asing ke bahasa Indonesia saja sudah sangat berguna. Saya ingat beberapa orang sempat menyapa saya karena mereka menggunakan kompilasi soal-soal di atas untuk latihan. Saya yang sombong sudah lupa dan terus memasang muka terkejut “Oh yaa?” Sekarang sih jadi ingat lagi.

(Padahal sekarang sedang mengerjakan laporan proyek yang deadlinenya 3 jam lagi. Post ini hanya pelarian saja… ckck).

Oh ya, kalau diperhatikan ada hal yang lucu. Nama saya di berkas kompilasi tersebut bukan Raja Oktovin P. D. tetapi Raja Octovin P. D yang menurut saya lucu. Pertama, saya dulu memang suka memaksakan nama saya Octovin, pake c. Karena menurut saya lebih English. LOL. Tapi akhirnya saya menerima kenyataan setelah memastikan di akte kelahiran saya, kalau nama saya pakai huruf k. (Beneran saya periksa dulu). Kemudian, saya merasa agak bodoh tidak menaruh titik di belakang huruf D.

Oke, sudah cukup procrastinating-nya. Melihat pekerjaan saya yang tak seberapa ini membuat saya ingin memproduksi lebih banyak karya lagi. Gak tau apakah akan dipakai orang atau tidak. Saya ga peduli. 🙂