Ketaksamaan kompleks ekivalen

Misalkan $a,b\in \mathbb{C}$. Buktikan bahwa $\left| az+b\bar{z} \right|\le 1$, untuk setiap $z\in \mathbb{C}$, dengan $\left| z \right|=1$, jika dan hanya jika$\left| a \right|+\left| b \right|\le 1$.

Bukti.

(Jika)

Jika $|a|+|b| \le 1$, maka dengan ketaksamaan segitiga, berlaku $|az+b\overline{z}| \le |a||z|+|b||\overline{z}| = |a|+|b| \le 1$.

(Hanya jika)

Asumsikan bahwa $|az+b\overline{z}| \le 1$ untuk setiap $z$ dengan $|z|=1$. Jika $a=0$ atau $b=0$, ketaksamaan $|a|+|b| \le 1$ terpenuhi. Asumsikan $ab \ne 0$. Dengan manipulasi aljabar, berlaku $|az^2+b| \le 1$. Ini juga berakibat $|az+b| \le 1$ untuk setiap $|z|=1$. Akibatnya
$|a|^2+|b|^2+a\overline{b}z+\overline{a}b\overline{b} \le 1 \quad (*)$.
Ambil $z=\dfrac{|a||b|}{a\overline{b}}$, perhatikan bahwa $|z|=1$ dan ketaksamaan $(*)$ menjadi $|a|^2+|b|^2+2|a||b| \le 1$ yang berakibat $|a|+|b| \le 1$.

Terbukti.

Refleksi.

Soal yang cukup rutin kecuali ide untuk kalimat terakhir yang mengambil $z=\dfrac{|a||b|}{a\overline{b}}$ harus sedikit licik. 🙂

 

Advertisements
This entry was posted in Uncategorized and tagged , , , , , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s