Soal OSN 2016 Hari Kedua Soal 5

Ini adalah salah satu dari tiga soal saya yang diterima menjadi soal OSN 2016 di Palembang, Sumatera Selatan. Sama seperti soal kedua hari pertama, aslinya soal ini diajukan untuk OSP (tingkat provinsi), namun saya coba ajukan lagi dan ternyata diterima. Yeah.

Soal. Andaikan $x$ merupakan bilangan real sehingga barisan bilangan bulat yang didefinisikan dengan $a_n=\lfloor nx \rfloor$ untuk setiap bilangan asli $n$ merupakan barisan aritmetika. Haruskah $x$ merupakan bilangan bulat?

Solusi. Ya. Misalkan $x=a+r$ dengan $a$ bilangan bulat dan $0 \le r < 1$. Perhatikan bahwa berlaku untuk setiap bilangan asli $n$:

$2\lfloor nx \rfloor = \lfloor (n-1)x \rfloor + \lfloor (n+1)x \rfloor$

$2na + 2\lfloor nr \rfloor = (n-1)a+\lfloor (n-1)r \rfloor + (n+1)a+\lfloor (n+1)r \rfloor$

$2\lfloor nr \rfloor = \lfloor (n-1)r \rfloor + \lfloor (n+1)r \rfloor$.

Asumsikan $r>0$, maka terdapat bilangan asli $k$ sehingga $\dfrac{1}{k+1} \le r < \dfrac{1}{k}$. Ini akan berakibat $(k-1)r<kr<1$ dan $(k+1)r \ge 1$. Artinya, $\lfloor (k-1)r \rfloor=\lfloor kr \rfloor=0$ dan $\lfloor (k+1)r \rfloor = 1$. Dengan mensubstitusi $n=k$ pada persamaan terakhir, diperoleh persamaan $2 (0)=0+1$ yang tidak valid.

Dengan demikian, haruslah $r=0$. Ini berarti $x$ haruslah berupa bilangan bulat.

Refleksi.

Soal ini sebenarnya harapannya mudah, makanya dijadikan soal pertama di hari kedua OSN. Namun, sepertinya soal ini tidak bisa dikatakan immediate juga bagi peserta OSN yang sebagian besar masih belum terbiasa menuangkan ide matemtis ke dalam tulisan yang runut. Alhasil, soal nomor 7, yaitu soal teori bilangan yang lebih terlihat “menghitung” memberikan nilai rata-rata yang lebih tinggi dibandingkan soal nomor 5 ini.

Hal yang paling sulit dari soal ini adalah memilih bilangan asli $k$ yang memenuhi $\dfrac{1}{k+1} \le r < \dfrac{1}{k}$. Mengapa sulit? Perhatikan bahwa untuk $r$ yang semakin mendekati $0$, nilai $k$ yang dipilih pun akan semakin besar agar memenuhi pertidaksamaan tersebut. Dengan demikian, pengambilan nilai $k$ yang cukup besar ini adalah langkah yang perlu (necessary) untuk menyelesaikan soal. Di nilai batas $k$ inilah titik kritis di mana barisan tersebut akan gagal menjadi barisan aritmetika untuk $r>0$. Menggunakan manipulasi aljabar biasa tidak membantu menyelesaikan soal ini. Ada properti analisisnya sedikit-sedikit. Oh ya properti ini dikenal juga dengan Archimedian Property.

Selain itu, hanya menggunakan informasi bahwa berhingga suku dari $a_n=\lfloor nx \rfloor$  merupakan barisan aritmetika tidak akan berhasil. Hal ini karena pada dasarnya ada $x$ yang tidak bulat yang membuat berhingga suku tersebut barisan aritmetika. Jadi, mengambil nilai  $k$ yang cukup besar adalah jalan yang “harus dilewati” untuk menyelesaikan soal ini. Tidak harus sama persis argumennya, namun begitulah kurang lebih struktur solusinya.

Advertisements
This entry was posted in Uncategorized and tagged , , , , , , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s