Kondisi ekivalen untuk lapangan berhingga berkarakteristik 2

Soal. Misalkan $\displaystyle \mathcal K$ merupakan lapangan berhingga. Buktikan bahwa pernyataan berikut ekivalen:

(a) $\displaystyle 1+1=0$;

(b) untuk setiap $\displaystyle f \in \mathcal K \left[ X \right]$ dengan $\displaystyle \textrm{deg} \, f \geq 1$, $\displaystyle f \left( X^2 \right)$ reducible.

(Romania National Olympiad 2006)

Solusi.

$\text{(a)} \rightarrow \text{(b)}$.
Perhatikan bahwa $\mathcal K$ memiliki kardinalitas berbentuk $2^n$ untuk suatu bilangan asli $n$. Untuk setiap $a \in \mathcal K$, berlaku $a+a=0$ sehingga $-a=a$. Sekarang, perhatikan himpunan $S=\{a^2:a \in \mathcal K\}$, akan ditunjukkan bahwa $S=\mathcal K$. Jelas $S \subseteq \mathcal K$. Sekarang, misalkan ada $x,y \in \mathcal K$ sehingga $x^2=y^2$. Ini berakibat $(x-y)(x+y)=0$. Artinya $x-y=0$atau $x+y=0$. Namun, karena $x+x=y+y=0$, maka $x=y$. Jadi, setiap elemen berbeda $a \in \mathcal K$, menghasilkan $a^2 \in S$ yang berbeda-beda. Terbukti bahwa $S=\mathcal K$.

Jadi, untuk setiap $a \in \mathcal K$, ada $b \in \mathcal K$, sehingga $a=b^2$. Dengan demikian, untuk setiap polinomial $f(X)=\sum_{k=0}^n a_kX^k \in \mathcal K[X]$, kita punyai ada $b_k$ sehingga $b_k^2=a_k$. Ini berakibat
$f(X^2)=\sum_{k=0}^n b_k^2X^{2k} = \left( \sum_{k=0}^n b_kX^k \right)^2=f(X)^2$
sehingga terbukti bahwa $f(X^2)$ irreducible.

$\text{(b)} \rightarrow \text{(a)}$.
Kita buktikan kontraposisinya. Misalkan $1+1 \ne 0$, maka karakteristik dari $\mathcal K$ adalah $p>2$ suatu bilangan prima. Perhatikan bahwa $\mathcal K - \{0\}$ merupakan grup siklis perkalian dengan order $p^n-1$ untuk suatu bilangan asli $n$. Karena $p$ ganjil, maka $p^n-1$ genap. Jadi, ada $\alpha \in \mathcal K$ dengan $\alpha^2 = 1 = 1^2$. Dengan demikian, ada elemen $\beta \in \mathcal K$ yang bukan kuadrat suatu elemen $\mathcal K$. Sekarang, pandang polinomial $f(X)=X-\beta$. Perhatikan bahwa $f(X^2)$ irreducible karena $X^2-\beta=0$ tidak punya akar.

Refleksi.

Contoh soal yang menarik tentang lapangan. Saya sedang mengumpulkan soal-soal dan solusi tentang lapangan. Hehe. Semoga nanti berguna sebagai referensi. 🙂

Advertisements
This entry was posted in Uncategorized and tagged , , , , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s