OSN 2016 Hari 1 Soal 2

Soal. Tentukan semua pasangan terurut bilangan asli $(a,b,c)$ yang memenuhi sekaligus:
(i) $b>1$ dan
(ii) $a^b=2^c+2^{2016}$.

Solusi.

Kita bagi tiga kasus: $c=2016,c>2016$, dan $c<2016$.

Jika $c=2016$, maka $a^b=2^{2017}$. Karena $2017$ merupakan bilangan prima, maka $b=2017$ dan $a=2$ adalah satu-satunya kemungkinan. Diperoleh salah satu solusi $(a,b,c)=(2,2017,2016)$.

Jika $c>2016$, misalkan $c=2016+k$, maka $a^b=2^{2016}(2^k+1)$. Namun, $2^k+1$ merupakan bilangan ganjil, sehingga agar $2^{2016}(2^k+1)$ merupakan bilangan berpangkat $b$, haruslah $b|2016$. Kita pandang kasus untuk $b$ berupa bilangan prima saja, yaitu $b=2,3,7$.

Jika $b=2$, maka haruslah $2^k+1=m^2$ untuk suatu bilangan asli $m$. Dengan demikian, $(m-1)(m+1)=2^k$. Namun, $m-1$ dan $m+1$ dua bilangan genap berturutan, sehingga salah satunya tidak habis dibagi $4$. Artinya, salah satu dari mereka bernilai tepat $2$. Jadi, $m-1=2$, sehingga $m=3$. Dari sini, diperoleh $k=3$. Dikembalikan ke persamaan awal, diperoleh $2^{2016} \cdotp 3^2 = a^b$ sehingga diperoleh solusi $(a,b,c)=(2^{1008} \cdotp 3, 2, 2019)$.

Sekarang akan ditunjukkan bahwa $2^k+1=m^n$ tidak punya solusi untuk $n=3,7$. Perhatikan bahwa $2^k=(m-1)(m^{n-1}+m^{n-2}+\dots+m+1)$. Jika $d>1$ bilangan bulat sehingga $d|m-1$ dan $d|m^{n-1}+m^{n-2}+\dots+m+1$, maka $d|n$ juga. Namun, karena $n=3$ atau $n=7$, maka tidak mungkin faktor $2$ muncul keduanya di $m-1$ maupun $m^{n-1}+m^{n-2}+\dots+m+1$. Ini berakibat $m-1=1$ dan $2^k=2^{n-1}+2^{n-2}+\dots+2+1$. Namun, persamaan terakhir tidak mungkin terpenuhhi karena ruas kanan ganjil.

Jika $c<2016$, misalkan $c+k=2016$ untuk suatu bilangan bulat $k>0$. Maka diperoleh $2^c(2^k+1)=a^b$. Perhatikan bahwa haruslah $b|c$ dan $2^k+1=m^n$ untuk suatu bilangan prima $n$. Perhatikan bahwa $2^k=(m-1)(m^{n-1}+m^{n-2}+\dots+m+1)$ dan kemungkinan faktor sekutu untuk $m-1$ dan $m^{n-1}+m^{n-2}+\dots+m+1$ yang mungkin haruslah pembagi dari $n$ juga. Dengan demikian, satu-satunya kemungkinan adalah $n=2$ dan dengan argumen serupa pada kasus $b=2$, diperoleh $k=3,m=3$. Masukkan lagi ke persamaan, maka haruslah solusinya memenuhi $2^{2013}(2^3+1)=a^b$. Namun, $2013$ merupakan bilangan prima dan $2^3+1$ bukan bilangan berpangkat $2013$, sehingga tidak mungkin ada solusi pada kasus ini.

Dengan demikian, semua solusi yang memenuhi adalah $(a,b,c)=(2,2017,2016)$ dan $(2^{1008} \cdotp 3, 2, 2019)$. Mudah diperiksa bahwa pasangan terurut bilangan asli ini memenuhi kondisi tersebut.

Refleksi.

Soal ini sebenarnya saya ajukan untuk soal OSP 2016, namun ditolak. Seperti J. K. Rowling, saya coba lagi ajukan untuk OSN 2016. Puji syukur kepada dewa, soal ini masuk juga akhirnya.

Soal ini sedikit kontroversial karena merupakan akibat dari suatu teorema terkenal yaitu Teorema Mihăilescu yang berbunyi:

Satu-satunya solusi dari persamaan $x^a-y^b=1$ untuk $a,b>1$ dan $x,y>0$ yang berupa bilangan asli adalah $x=3,a=2,y=2,b=3$ (yaitu persamaan $3^2-2^3=1$).

Teorema ini disebut Konjektur Catalan sejak 1844 dan baru dibuktikan pada tahun 2002 oleh matematikawan Preda Mihăilescu.

Ini menjadi sedikit bermasalah karena bagi beberapa siswa SMA yang “tahu” teorema ini, bisa mensitasi teorema sebagai jalan pintas. Namun, menurut saya pribadi, hal ini tidak adil. Pertama, matematika olimpiade idealnya bukanlah tentang seberapa banyak seorang peserta tahu sedikit-sedikit tentang teorema-teorema (meskipun secara praktis malah sebaliknya, dan idealisme ini juga sepertinya tidak terlalu tepat di matemtika riset hehe) namun prinsip ini sebaiknya tetap diperjuangkan. Untuk itu, jika memungkinkan, si peserta sebaiknya menuliskan bukti untuk teorema ini jika memang dia benar-benar “tahu” teorema ini. Dari argumen pertama, kesannya saya sangat skeptis dengan kemampuan peserta OSN, namun menurut saya matematika bukan hanya tentang “tahu”, yaitu argumen kedua: presentasi. Di olimpiade matematika, kita belajar bagaimana cara mempresentasikan ide secara runut dan jelas. “Tahu” saja tidak cukup. Meskipun Anda ketemu soal semudah apapun (misalnya, kenapa persamaan $ax^2+bx+c=0$ punya maksimal dua akar real $x$?), kurang menjawab rasanya kalau Anda hanya menjawab “lah itu kan jelas”. Di sini, juri memiliki wewenang untuk menilai kejelasan yang diharapkan pada solusinya sampai mana. Ketiga, tidak ada keinginan sama sekali dari saya agar peserta “tahu” Teorema Mihăilescu. Jadi, sebenarnya masalahnya tidak serumit itu. Jika ia tidak suka, dia bisa mempresentasikan solusi lain.

Menurutmu, bagaimana? Apakah masalah jika peserta langsung menggunakan Teorema Mihăilescu langsung? Silakan tinggalkan komentar di bawah juga kalau mau  komentar tentang soalnya. 🙂

Advertisements

2 thoughts on “OSN 2016 Hari 1 Soal 2

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s