Mencari nilai awal suku agar barisan tak hingga terdefinisi

Misalkan a_1,a_2,\dots merupakan barisan tak hingga bilangan real demikian sehingga a_{n+1}=\sqrt{a_n^2+a_n-1}. Tunjukkan bahwa a_1 \notin (-2,1).

(Bulgaria National 2002)

Jawab.

Jelas bahwa a_1 \ne 0. Kita bagi menjadi dua kasus, yaitu jika a_1>0 dan a_1<0.

Pertama, andaikan 0<a_1<1, maka a_{n+1}=\sqrt{a_n^2+a_n-1}<\sqrt{a_n^2}=a_n. Jadi, a_n merupakan barisan yang selalu turun, namun terbatas di bawah oleh 0. Artinya, barisan (a_n) akan konvergen menuju suatu nilai L, yaitu \lim a_n = L. Ambil limit di kedua ruas, maka diperoleh L=\sqrt{L^2+L-1} sehingga L=1. Namun, ini tidak mungkin karena L-a_n < L-a_{n+1} untuk setiap bilangan asli n, padahal seharusnya L-a_n bernilai selalu kecil dari \epsilon untuk n cukup besar. Jadi, terbukti bahwa a_1>1.

Kedua, asumsikan a_1<0. Perhatikan bahwa a_2>0. Berdasarkan asumsi sebelumnya, kita tentu harus punyai bahwa a_2 \ge 1. Jadi, haruslah a_1^2+a_1 -1 \ge 1, yaitu (a_1+2)(a_1-1) \ge 0. Karena a_1<0, maka  haruslah a_1 \le -2.

Terbukti bahwa a_1 \notin (-2,1).

Refleksi.

Hanya sedang iseng cari soal aljabar yang mudah. Supaya ingat kalau soal aljabar biasanya mayoritas manipulasi variabel dengan tujuan utama analisis yang cantik dan mudah.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s