Mencari nilai awal suku agar barisan tak hingga terdefinisi

Misalkan a_1,a_2,\dots merupakan barisan tak hingga bilangan real demikian sehingga a_{n+1}=\sqrt{a_n^2+a_n-1}. Tunjukkan bahwa a_1 \notin (-2,1).

(Bulgaria National 2002)

Jawab.

Jelas bahwa a_1 \ne 0. Kita bagi menjadi dua kasus, yaitu jika a_1>0 dan a_1<0.

Pertama, andaikan 0<a_1<1, maka a_{n+1}=\sqrt{a_n^2+a_n-1}<\sqrt{a_n^2}=a_n. Jadi, a_n merupakan barisan yang selalu turun, namun terbatas di bawah oleh 0. Artinya, barisan (a_n) akan konvergen menuju suatu nilai L, yaitu \lim a_n = L. Ambil limit di kedua ruas, maka diperoleh L=\sqrt{L^2+L-1} sehingga L=1. Namun, ini tidak mungkin karena L-a_n < L-a_{n+1} untuk setiap bilangan asli n, padahal seharusnya L-a_n bernilai selalu kecil dari \epsilon untuk n cukup besar. Jadi, terbukti bahwa a_1>1.

Kedua, asumsikan a_1<0. Perhatikan bahwa a_2>0. Berdasarkan asumsi sebelumnya, kita tentu harus punyai bahwa a_2 \ge 1. Jadi, haruslah a_1^2+a_1 -1 \ge 1, yaitu (a_1+2)(a_1-1) \ge 0. Karena a_1<0, maka  haruslah a_1 \le -2.

Terbukti bahwa a_1 \notin (-2,1).

Refleksi.

Hanya sedang iseng cari soal aljabar yang mudah. Supaya ingat kalau soal aljabar biasanya mayoritas manipulasi variabel dengan tujuan utama analisis yang cantik dan mudah.

Advertisements
This entry was posted in Uncategorized and tagged , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s