Tes 4 IMO 2016 Tahap 3

Soal. Evaluasi nilai

\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{1+8\sin^2 \left(\dfrac{k \pi}{n} \right)}.

Solusi.

Misalkan \theta_k=\dfrac{k \pi}{n} untuk k=0,1,2,\dots,n-1, maka

\sin \theta_k = \dfrac{e^{i \theta_k} - e^{-i \theta_k}}{2i}.

Misalkan z_k=e^{2i \theta_k}, maka ekspresi pada soal dapat diubah menjadi

\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{1-2\left(e^{i\theta_k}-\dfrac{1}{e^{i\theta_k}}\right)^2}

\displaystyle = \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{e^{2i\theta_k}}{-2e^{4i\theta_k}+5e^{2i\theta_k}-2}

\displaystyle = \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{z_k}{-2z_k^2+5z_k-2}

\displaystyle = \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{z_k}{(2z_k-1)(2-z_k)}

\displaystyle =\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{2}{3} \left( \dfrac{1}{2-z_k} \right) - \dfrac{1}{3} \left(\dfrac{1}{1-2z_k}\right)

di mana z_k adalah akar-akar dari polinomial p(z)=z^n-1 untuk k=0,1,2,\dots,n-1.

Dengan demikian, bentuk tersebut akan sama nilainya dengan

\displaystyle =\dfrac{2}{3} \times \dfrac{p'(2)}{p(2)} - \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{p'(\frac{1}{2})}{p(\frac{1}{2})}
\displaystyle =\dfrac{2}{3} \times \dfrac{n 2^{n-1}}{2^n-1} + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{n}{2^n-1}

\displaystyle = \dfrac{n}{6} \times \dfrac{2^{n+1}-1}{(2^n-1)}.

Refleksi

Saya berpikir bahwa ini soal standar, mungkin hanya mengandalkan kemampuan manipulasi aljabar. Namun, ternyata hanya ada 1 orang yang berhasil menyelesaikan soal ini di Tahap 3. Saat saya cobakan ke anak pelatnas IMC 2016, cukup banyak yang bisa. Well, saya pikir permasalahannya cuman satu sih, kekurangan pengalaman mengerjakan soal-soal aljabar. Semoga nanti di IMO mereka cukup lihai dalam mengerjakan soal-soal aljabar yang bertipe manipulasi saja. Good luck.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s