[OSN 2008] Ketaksamaan sederhana

Soal. Untuk setiap bilangan real positif x dan y, tunjukkan bahwa

\dfrac{1}{(1+\sqrt{x})^2}+\dfrac{1}{(1+\sqrt{y})^2} \ge \dfrac{2}{x+y+2}.

Solusi.

Perhatikan bahwa dengan ketaksamaan AM-HM, kita punyai

\dfrac{1}{(1+\sqrt{x})^2}+\dfrac{1}{(1+\sqrt{y})^2} \ge \dfrac{4}{(1+\sqrt{x})^2+(1+\sqrt{y})^2}.

Sekarang, kita cukup menunjukkan bahwa

2(x+y+2) \ge (1+\sqrt{x})^2+(1+\sqrt{y})^2

2x+2y+4 \ge 1+2\sqrt{x}+x+1+2\sqrt{y}+y

x+y+2 \ge 2\sqrt{x}+2\sqrt{y}.

Namun, ketaksamaan terakhir benar karena berlaku

x+1 \ge 2 \sqrt{x}

dan

y+1 \ge 2\sqrt{y}.

Solusi 2.

Perhatikan bahwa (1+\sqrt{x})^2 \le 2x+2.

Ketaksamaan di atas benar karena jika dibongkar, ekivalen dengan

1+2\sqrt{x}+x \le 2x+2

2\sqrt{x} \le x+1

0 \le x-2\sqrt{x}+1

0 \le (\sqrt{x}-1)^2

yang jelas benar.

Dengan demikian, diperoleh

\dfrac{1}{(1+\sqrt{x})^2} \ge \dfrac{1}{2x+2}

dan

\dfrac{1}{(1+\sqrt{y})^2} \ge \dfrac{1}{2y+2}.

Dari kedua ketaksamaan ini, maka diperoleh

\dfrac{1}{(1+\sqrt{x})^2}+\dfrac{1}{(1+\sqrt{y})^2} \ge \dfrac{1}{2x+2}+\dfrac{1}{2y+2}.

Terakhir, dengan ketaksamaan AM-HM, diperoleh juga bahwa

\dfrac{1}{2x+2}+\dfrac{1}{2y+2} \ge \dfrac{4}{2x+2+2y+2}=\dfrac{2}{x+y+2}.

Refleksi.

Ini adalah soal ketika saya mengikuti OSN. Untuk standar zaman dulu, soal ini termasuk medium karena anak-anak SMA yang tidak mendapatkan pelatihan juga tidak terlalu familiar dengan ketaksamaan AM-GM-HM. Tapi, zaman sekarang, soal OSN sudah semakin aneh. Mungkin seharusnya soal-soal OSN yang dipilih harus lebih dibatasi untuk menggunakan metode-metode yang sangat sederhana agar  tidak merugikan anak-anak bertalenta yang kurang pelatihan.

Advertisements
This entry was posted in Uncategorized and tagged , , , , , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s