Tes 1 Tahap 3 IMO 2016

Soal. Diberikan bilangan prima p \ge 5. Tentukan banyaknya polinomial berbentuk

1+pX^k+pX^{\ell}+X^p

dengan 1 \le k < \ell \le p-1 yang irreducible di \mathbb{Z}[X].

Solusi. Pertama, perhatikan bahwa jika k dan \ell memiliki paritas yang berbeda, maka 1+p(-1)^k+p(-1)^{\ell}+(-1)^p=0 sehingga polinomial habis dibagi X+1.

Sekarang, jika k dan \ell memiliki paritas yang sama, akan ditunjukkan bahwa polinomial tersebut irreducible. Polinomial f(X) irreducible jika dan hanya jika polinomial f(X-1) irreducible. Jadi, diperoleh polinomial

\displaystyle (X-1)^p+p(X-1)^k+p(X-1)^{\ell}+1

memiliki koefisien X^p bernilai 1, koefisien konstanta bernilai \pm 2p, dan koefisien lainnya habis dibagi p (karena {p \choose k} habis dibagi p untuk setiap k=1,2,\dots,p-1). Berdasarkan Eisenstein’s criterion, polinomial ini irreducible.

Jadi, banyaknya polinomial yang irreducible adalah banyak cara memilih dua bilangan berbeda k dan \ell dari himpunan \{1,2,\dots,p-1\} yang memiliki paritas yang sama, yaitu sebanyak 2{\frac{p-1}{2} \choose 2}.

Solusi Alternatif. Cara lain untuk menunjukkan bahwa polinomial tersebut irreducible di \mathbb{Z}[X] adalah dengan menunjukkan bahwa polinomial tersebut irreducible di \mathbb{Z}_p[X]. Misalkan, untuk mencapai kontradiksi, polinomial tersebut reducible menjadi f(X)g(X) dengan \delta f, \delta g \ge 1 untuk suatu f,g \in \mathbb{Z}[X]. Jadi, \overline{f}(X)\overline{g}(X)=X^p+1=(X+1)^p sehingga karena X+1 irreducible, haruslah \overline{f}(X)=\overline{a}(X+1)^m dan \overline{g}(X)=\overline{b}(X+1)^{p-m} untuk suatu bilangan asli n dan suatu \overline{a},\overline{b} \in \mathbb{Z}_p dengan \overline{a}\overline{b} \equiv 1 \pmod{p}. Perhatikan bahwa berarti ada polinomial f_1,g_1 \in \mathbb{Z}[X] demikian sehingga

(a(X+1)^p+pf_1(x))(b(X+1)^{p-m}+pg_1(x))=X^p+pX^k+pX^{\ell}+1.

Subsitusi X:=-1, maka diperoleh

p^2f_1(-1)g_1(-1)=p((-1)^k+(-1)^{\ell}).

Namun, ini tidak mungkin karena ruas kanan tidak mungkin habis dibagi p.

Advertisements

One Comment

  1. Sambut HARI BUKU Se-Dunia
    Salam Bakti Kami Padamu Negeri Spesial buat para pejuang tangguh OSNPTI, Guru dan Dosen Pelatih Olimpiade MIPA (Let’s go to get all of medalion)
    Also event Road To Palembang OSN 2016
    Setelah lahir dan sukses buku Persiapan Pelatihan dan Pembinaan ON MIPA PT dan OSN Pertamina bidang studi Matematika Kini siap hadir buku yang sama Fisika, untuk Biologi dan Kimia menyusul kemudian. (Buku Revolusioner dan Pertama di Indonesia) Mohon doa restu.

    Teori Singkat Studi Kasus dan Bedah Soal Soal OSK,OSP, dan OSN Fisika Tahun 2014 dan 2015 lengkap dengan pembahasannya Soal seleksi tingkat kampus dan pembahasannya Soal ON MIPA PT dan OSN Pertamina 5 tahun terakhir tingkat regional dan nasional
    Bonus Soal dan Pembahasan Olimpiade Fisika Tim Pelatnas TOFI oleh Prof. Yohanes Surya, Phd. Bonus Soal Sampel Apho dan Ipho lengkap dengan pembahasannya (1 paket)

    Buku khusus ini dibuat atas permintaan dan saran dari para pelanggan sebelumnya agar lebih mewarnai khasanah keilmuwan sains dan turut mencerdaskan dunia pendidikan nasional tingkat perguruan tinggi.

    Telah tercatat 65 PTS dan PTN terdaftar dalam user buku on mipa pt bidang studi Matematika sebelumnya. Sekali lagi terima kasih atas kepercayaan, doa dan support para kontributor penulis termasuk kritik dan saran para pelanggan.
    Yang minat dan serius mohon konfirmasi pemesanan dari sekarang, silahkan hubungi Ibu Yeni Suryani WA/HP. 08561321290 atau PIN BB 5B5D1D3A. (Limit Edition)

    Harga Promosi berlaku hanya sampai bulan Mei 2016 : Rp. 200.000 belum ongkir
    Harga normal : Rp. 225.000 (Pelajar dan Mahasiswa), Guru dan Dosen (Rp. 250.000) ciyusss

    Note Penting :
    Alhamdulillah testimoni terbukti 10 Orang Mahasiswa PTN/PTS Pembeli buku berprestasi dan lolos seleksi ON MIPA PT Tingkat Regional dan Nasional.
    Pengiriman buku paket reguler atau yes via JNE Cabang Kampus IPB Dramaga Bogor/ Pos Indonesia.
    Penerbit APPM Publishing – Klinik Pendidikan XPERT Global Bogor Silahkan share ke teman-teman sekolah dan kampusmu

    Salam Prestasi dan Sukses selalu Terima kasih

    Reply

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s