Kardinalitas lapangan berhingga

Di sini, akan ditunjukkan bahwa jika L adalah lapangan berhingga dengan karakteristik p, maka kardinalitasnya  berbentuk p^n untuk suatu bilangan asli n.

Pertama, perhatikan bahwa L punya sub-lapangan berhingga yang isomorfik dengan dengan \mathbb{F}_p, yaitu dengan anggota-anggota 0,1,1+1,\dots,\underbrace{1+1+\dots+1}_{p-1}.

Perhatikan bahwa lapangan L dapat dipandang sebagai ruang vektor atas lapangan \mathbb{F}_p karena dari aksioma lapangan L, berlaku:

  • u+v \in L untuk setiap u,v \in L
  • u+v=v+u untuk setiap u,v \in L
  • (u+v)+w=u+(v+w) untuk setiap u,v,w \in L
  • ada 0 \in L sehingga u+0=u untuk setiap u \in L
  • untuk setiap u \in L ada -u \in L sehingga u+(-u)=0
  • jika \alpha \in \mathbb{F}_p,v \in L, maka \alpha v \in L
  • jika \alpha \in \mathbb{F}_p dan u,v \in L, maka \alpha(u+v)=\alpha u+ \alpha v
  • jika \alpha,\beta \in \mathbb{F}_p dan u \in L, maka (\alpha+\beta)u=\alpha u + \beta u
  • jika \alpha,\beta \in \mathbb{F}_p dan u \in L, maka (\alpha \cdotp \beta)u=\alpha (\beta u)
  • ada 1 \in \mathbb{F}_p sehingga untuk setiap u \in L berlaku 1u=u.

Karena L merupakan ruang vektor atas \mathbb{F}_p, maka diperoleh sifat  bahwa L memiliki basis S. Karena L berhingga, maka basis S juga berhingga. Misalkan \text{dim}(L)=|S|=n. Karena basis L ada n, maka banyak anggota L dapat dihitung dengan menghitung banyak cara mengisi n koefisien di mana masing-masing memiliki p kemungkinan anggota \mathbb{F}_p. Jadi, banyaknya anggota lapangan berhingga L adalah p^n untuk suatu bilangan asli n.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s