Grup multiplikatif dari lapangan berhingga adalah grup siklik

Teorema. Diberikan lapangan (K,+,\cdotp) yang berhingga, maka grup (K^*,\cdotp) merupakan grup siklik.

Bukti.

Kita akan membuktikkan lema berikut.

Lema. Misalkan G adalah grup berhingga dengan |G|=n. Jika untuk setiap d|n, berlaku |\{x \in G|x^d=1\}| \le d, berlaku G merupakan grup siklik.

Bukti. Misalkan untuk d|n, definisikan G_d sebagai himpunan semua anggota G yang memiliki order d. Jika G_d tidak kosong, maka ada g \in G_d dan jelas bahwa untuk setiap  k=1,2,\dots,d, berlaku g^k \in \{x \in G|x^d=1\}. Namun, d adalah order. Dengan demikian, 1,g,g^2,\dots,g^{d-1} semuanya berbeda-beda, jadi sedikitnya punya d elemen. Jadi, haruslah \{x \in G|x^d=1\} punya d elemen sesuai premis pada lema, sehingga \{x \in G|x^d=1\}=\{g^k|k=0,1,2,\dots\} untuk suatu g \in G_d. Dengan demikian, G_d adalah banyaknya generator dari grup siklis \{g^k|k=0,1,2,\dots\}. Anggota g^i \in G_d akan menjadi generator lain dari \{g^k|k=0,1,2,\dots\} jika dan hanya jika \gcd(i,d)=1. Jadi, banyaknya anggota G_d adalah \varphi(d). Tentunya, jika G_d kosong, maka banyak anggotanya adalah 0.

Sekarang, perhatikan bahwa

\displaystyle n = |G| = \sum_{d|n} |G_d| \le \sum_{d|n} \varphi(d) = n

sehingga kesamaan terjadi. Maka, berlaku |G_d|=\varphi(d) untuk setiap d|n. Secara khusus, |G_n|=\varphi(n) \ne 0, sehingga G punya generator (yaitu, yang ordernya n). Terbukti bahwa G merupakan grup siklik. \square

Berdasarkan lema, perhatikan bahwa persamaan x^d=1 dapat dipandang sebagai sebuah polinomial berderajat d dan karena K merupakan field, persamaan ini memiliki paling banyak d akar. Jadi, (K^*,\cdotp) memenuhi premis G pada lema, sehingga terbukti bahwa (K^*,\cdotp) merupakan grup siklik.

Refleksi.

Teorema ini mengakibatkan bahwa sembarang lapangan berhingga memiliki suatu anggota primitif yang dapat menghasilkan anggota-anggota lainnya jika dipangkatkan. Di Galois Field \mathbb{F}_{p^n} / \langle x^n-x-1 \rangle, kita bisa mengambil anggota x sendiri sebagai anggota primitifnya. Fakta bahwa x merupakan elemen primitif dapat ditunjukkan karena order dari x adalah p^n-1.

 

Advertisements
This entry was posted in Uncategorized. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s