Jajar genjang dan bujur sangkar

Diberikan jajargenjang ABCD. Pada sisi-sisinya digambarkan bujur sangkar di luar jajar genjang. Buktikan bahwa keempat titik pusat bujur sangkar ini membentuk bujur sangkar.

Jawaban:

Misalkan O_1,O_2,O_3,O_4 adalah pusat bujur sangkar-bujur sangkar tersebut dan O adalah pusat jajar genjang.

BPertama, O_1,O,O_3 segaris. Perhatikan bahwa AB=CD,OA=OC,OB=OD sehingga OAB \equiv OCD. Jadi, \angle AOO_1=\angle COO_3. Tapi O,A,C segaris, jadi akibatnya \angle O_1,O_3,O juga segaris.

Dengan cara yang sama, O_2,O,O_4 segaris.

Selain itu, kita juga punyai OO_1=OO_3 dan OO_2=OO_4. Dengan demikian, O_1O_2O_3O_4 merupakan jajargenjang.

Sekarang, misalkan \angle ABC=\theta, maka kita peroleh \angle BCD=\pi - \theta. Dengan demikian, \angle O_1BO_2=\frac{1}{4}\pi+\frac{1}{4}\pi+\theta=\frac{1}{2}\pi+\theta dan \angle O_2CO_3=2\pi-(\frac{1}{4}\pi + \frac{1}{4}\pi + \angle BCD)=\frac{1}{2}\pi+\theta. Namun, kita juga punyai O_1B=O_3C dan O_2B=O_2C. Jadi, O_1BO_2 \equiv O_2CO_3 sehingga O_1O_2=O_3O_4.

Dengan demikian, diperoleh O_1O_2=O_2O_3=O_3O_4=O_4O_1, yaitu O_1O_2O_3O_4 merupakan belah ketupat. Jadi, O_1O_3 \perp O_2O_4.

Misalkan B_1,B_2 adalah pencerminan B terhadap O_1,O_2, berturut-turut. Karena \angle DAB_1=\angle DCB_2, maka diperoleh DB_1=DB_2. Namun, karena O,O_1,O_2, berturut-turut adalah titik tengah BD,BB_1,BB_2, maka diperoleh OO_1=OO_2 dan dengan cara serupa OO_1=OO_2=OO_3=OO_4.

Karena pada segiempat O_1O_2O_3O_4 kedua diagonalnya sama panjang, saling tegak lurus, dan berpotongan di tengah, maka O_1O_2O_3O_4 merupakan bujur sangkar. \squared.

 

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s