Tes 6 Tahap 2 IMO 2016

Soal 3. Cari semua fungsi f:(0,\infty) \rightarrow (0,\infty) yang memenuhi

\displaystyle \frac{f(a)+f(b)}{f(c)+f(d)}=\frac{a+b}{c+d}

untuk semua bilangan real positif a,b,c,d dengan ab=cd.

Solusi.

Tanpa mengurangi keumuman, misalkan f(1)=1. Dengan substitusi (a,b,c,d)=(xy,1,x,y), maka kita peroleh

\displaystyle \frac{f(xy)+f(1)}{f(x)+f(y)}=\frac{xy+1}{x+y}.

Jadi,

f(xy)=\dfrac{xy+1}{x+y}f(x)+\dfrac{xy+1}{x+y}f(y)-1.

Fungsi ini pada dasarnya berbentuk “Cauchy” dengan sedikit embel-embel koefisien. Kita akan coba mendekomposisi beberapa ekspresi aljabar menjadi beberapa “parameter”, dalam hal ini f(2) dan f(t).

Substitusi (x,y)=(2,2), maka

f(4)=\dfrac{5}{2}f(2)-1. (*)

Substitusi (x,y)=(2,t), maka

f(2t)=\dfrac{2t+1}{t+2}f(2)+\dfrac{2t+1}{t+2}f(t)-1. (**)

Substitusi (x,y)=(2t,2), maka bersama (**) diperoleh

f(4t)=\dfrac{4t+1}{2t+2}f(2t)+\dfrac{4t+1}{2t+2}f(2)-1

f(4t)=\dfrac{4t+1}{2t+2}\dfrac{2t+1}{t+2}f(2)+\dfrac{4t+1}{2t+2}\dfrac{2t+1}{t+2}f(t)-\dfrac{4t+1}{2t+2}+\dfrac{4t+1}{2t+2}f(2)-1.

Menyamakan kedua bentuk f(4t) terakhir, diperoleh

f(t)=ax+\dfrac{b}{x}

untuk setiap bilangan real positif x, di mana a dan b adalah suatu konstanta. Karena f:(0,\infty)\rightarrow (0,\infty), maka haruslah a,b \ge 0 dan a^2+b^2 \ne 0. Mudah diperiksa ke persamaan awal bahwa fungsi ini memenuhi.

Refleksi.

Sekilas mata memandang, soal ini mirip sekali dengan soal International Mathematical Olympiad (IMO) 2008 Soal 4. Bedanya, persamaan fungsi ini terlihat lebih innocent, padahal jika Anda cukup sering mengerjakan soal fungsi, Anda tahu fungsi ini cukup menyeramkan; fungsi “homogen” seperti ini biasanya sangat sulit untuk diselesaikan.

Awalnya saya berharap soal ini banyak yang bisa mengerjakan karena soal ini dapat diselesaikan hanya dengan murni substitusi variabel. Namun, ternyata yang berhasil menyelesaikan hanya beberapa saja. Yang saya ingat hanya ada Stevans dan Louis. Ekspektasi saya yang bisa menyelesaikan itu sekitar 8-12 orang padahal. Mungkin kebanyakan dari mereka berpikir terlalu rumit karena metode-metode di sesi aljabar cukup banyak dan memusingkan.

Ide paling penting dari soal ini adalah membuat hubungan parametrik antara variabel-variabel yang ada. Di soal di atas 2 diambil sebagai “parameter” yang membantu perhitungan bentuk-bentuk lain terkait parameter seperti 2x,4,4x. Nilai 2 di sini tidak esensial dan dapat digantikan oleh konstanta lain; yang penting tidak sama dengan 1.

Advertisements
This entry was posted in Uncategorized and tagged , , , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s