Luas segiempat hasil refleksi

Soal: Diberikan sebuah segiempat konveks ABCD dengan luas S dan sebuah titik O sembarang di dalam segiempat tersebut. Titik O dicerminkan ke keempat titik tengah sisi-sisi segiempat ABCD. Tentukan luas segiempat yang titik sudutnya merupakan empat titik hasil pencerminan tersebut; dinyatakan dalam S.

Jawaban:

refleksi

Misalkan E,F,G,H berturut-turut titik tengah AB,BC,CD,DA. Misalkan O',O_1',O_2',O_3' berturut-turut hasil pencerminan O terhadap E,F,G,H.

Perhatikan bahwa S_{OEF}=\frac{1}{4}S_{OO'O_1'} karena E,F merupakan titik tengah OO',OO_1', berturut-turut. Dengan cara yang sama, S_{OFG}=\frac{1}{4}S_{OO_1'O_2'},S_{OGH}=\frac{1}{4}S_{OO_2'O_3'},S_{OHF}=\frac{1}{4}S_{OO_3'O'}. Jumlahkan keempatnya, maka diperoleh S_{EFGH}=\frac{1}{4}S_{OO_1'O_2'O_3'}. (*)

Karena E,F  titik tengah AB,BC, berturut-turut, maka S_{BEF}=\frac{1}{4}S_{BAC}. Dengan cara yang sama, S_{CFG}=\frac{1}{4}S_{BCD},S_{DGH}=\frac{1}{4}S_{DCA},S_{AHE}=\frac{1}{4}S_{ADB}. Dengan demikian,

S_{BEF}+S_{CFG}+S_{DGH}+S_{AHE}=\frac{1}{4}(S_{BCD}+S_{CDA}+S_{DAB}+S_{ABC})

=\frac{1}{2}S_{ABCD}.

Namun, ini berakibat S_{EFGH}=\frac{1}{2}S_{ABCD}. (**)

Dengan demikian, dari (*) dan (**), diperoleh S_{OO_1'O_2'O_3'}=2S_{ABCD}.

Refleksi:

Soal ini termasuk mudah dan saya berikan ke salah satu siswa SMP yang saya latih untuk menghadapi OSP tingkat SMP. Saya harus belajar geometri lagi, deh.

Dalam solusi ini, jajargenjang EFGH sangat signifikan untuk membantuk perhitungan terkait luas segiempat ABCD. Saya tertarik apakah ada solusi yang menarik, di mana tidak menggunakan segiempat EFGH.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s