Soal OSP 2016 Matematika SMA

Soal. Tentukan banyaknya pasangan terurut bilangan asli (a,b,c,d) yang memenuhi

ab+bc+cd+da=2016.

Catatan: Jawaban dalam bentuk paling sederhana.

Jawaban:

Perhatikan bahwa (a+c)(b+d)=2016 dan a+c,b+d>2. Maka haruslah

a+b=k

c+d=\dfrac{2016}{k}

untuk suatu pembagi positif k dari 2016 dengan 1 < k < 2016. Misalkan S adalah himpunan semua k yang demikian.

Dengan demikian, banyak pasangan terurut bilangan asli (a,b,c,d) yang memenuhi adalah

\displaystyle \sum_{k \in S} \left(k-1\right)\left(\dfrac{2016}{k}-1\right)

\left(\displaystyle \sum_{k \in S} 2016-k-\dfrac{2016}{k}+1\right)

\displaystyle \sum_{k \in S} 2017 - \sum_{k \in S} k - \sum_{k \in S} \dfrac{2016}{k}

\displaystyle \sum_{k \in S} 2017 - 2 \sum_{k \in S} k

Perhatikan bahwa karena 2016=2^5 \cdotp 3^2 \cdotp 7, maka

|S|=(5+1)(2+1)(1+1)-2=34

dan

\displaystyle \sum_{k \in S} k = (2^5+2^4+2^3+2^2+2+1)(3^2+3+1)(7+1)-1-2016=4535.

Jadi, banyaknya adalah

2017 \cdotp 34 - 2 \cdotp 4535=68578-9070=59508.

Refleksi.

Soal ini adalah salah satu soal saya yang masuk jadi soal OSP dan ditaruh di nomor 2 Bagian Esai. Semoga ada banyak peserta yang bisa. Saat pertama kali mengajukan soal ini, sebenarnya ingin diajukan untuk OSK kemarin, namun diprotes sepertinya terlalu kejam untuk OSK.

Selain itu, dari segi ilmiah, soal ini menawarkan beberapa informasi menarik terkait fungsi aritmetika. Proposal asli saya untuk soal ini di OSP adalah sebagai berikut.

Diberikan bilangan asli n>1. Tunjukkan bahwa banyaknya pasangan terurut bilangan asli (a,b,c,d) yang memenuhi

ab+bc+cd+da=n

adalah (n+1)\tau(n)-2\sigma(n).

Catatan: \tau(n) menyatakan banyak pembagi positif dari n dan \sigma(n) menyatakan hasil jumlah semua pembagi positif dari n.

Buktinya sama saja dengan soal di atas. Namun, rasanya bentuk fungsi tersebut sangat intimidatif untuk anak SMA yang masih cukup mentah matematikanya, padahal siapa tahu anak tersebut berbakat. Oleh karena itu, dibuatlah n berupa bilangan. Kita pilih 2016 saja, namun tidak dicoba apakah soal ini memakan cukup banyak waktu jika dikuli. Seharusnya sih cukup riskan untuk dikuli terkait kesalahan aritmetika untuk 34 pembagi positif dari 2016.

Selain itu, dari pernyataan soal kita dapat membuat beberapa soal lagi, di antaranya sebagai berikut:

Soal alternatif 1. Cari semua bilangan asli n demikian sehingga (n+1)\tau(n)=2 \sigma(n).

Jawabannya adalah 1 dan sembarang bilangan prima. Cukup mudah terlihat jika dianalogikan ke soal ab+bc+cd+da=n.

Soal alternatif 2. Diberikan bilangan asli k. Tunjukkan bahwa ada berhingga banyaknya bilangan asli n demikian sehingga (n+1)\sigma(n)=2\sigma(n)+k. Cari semua solusi untuk k=1,2,3,4,5,\dots (sesuai keisengan si pembuat soal).

Nah, soal ini butuh lebih banyak analisis dibandingkan Soal Alternatif 1. Mungkin ada yang mau mencoba? 🙂

Advertisements

6 Comments

      1. Solusi versi kak raja aja.. soalnya sy dapat tapi pake symmedian.. siapatau kak raja punya solusi yg setara osp hahaha

  1. Kak, kalau ada salah perhitungan di bagian Akhir tapi overall caranya benar, poinnya dikurang berapa ya??
    Saya jawab 50.000 an, padahal 59508.

    Reply

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s