Kondisi Lipschitz dan kontinuitas

Suatu fungsi f:[a,b] \rightarrow [a,b] memenuhi kondisi Lipschitz  jika berlaku

|f(x)-f(y)| \le |x-y|

untuk setiap x,y \in [a,b]. Fungsi yang memenuhi kondisi Lipschitz dapat dibuktikan bersifat kontinu. Berikut adalah buktinya.

Pilih sembarang bilangan x_0 \in [a,b]. Untuk setiap \epsilon > 0, kita dapat pilih \delta = \epsilon itu sendiri demikian sehingga untuk setiap |x-x_0| < \delta, berlaku |f(x)-f(x_0)| < \epsilon. Hal ini karena kondisi Lipschitz mengakibatkan

|f(x)-f(x_0)| \le |x-x_0| < \delta = \epsilon.

Jadi, benar berlaku bahwa f kontinu.

Refleksi.

Beberapa waktu yang lalu, saya menemukan soal olimpiade tingkat SMA. Soalnya tentang persamaan fungsi dan persamaan tersebut tidak sulit untuk mendapatkan rumusnya hingga bilangan rasional (dapat menggunakan induksi). Namun, ternyata ditambahkan syarat ini. Jelas bahwa kemudian rumus tersebut berlaku untuk semua bilangan real. Lucu saja sih jadinya soal olimpiade SMA punya semacam dua soal yang digabung menjadi satu seperti itu. Terus, agak kurang seru kalau peserta  tiba di kesimpulan bahwa fungsi yang memenuhi kondisi Lipschitz pasti bersifat kontinu dengan hanya mengklaimnya tanpa menyertakan bukti. Soalnya akan sedikit lebih seru jika peserta tidak tahu sama sekali dengan apa itu kontinuitas. 🙂

Advertisements
This entry was posted in Uncategorized and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s