Tahap 2 IMO Tes 1

Soal. Bilangan real positif a,b,c,d memenuhi

abcd=4

a^2+b^2+c^2+d^2=10.

Tentukan nilai terbesar yang mungkin untuk ab+bc+cd+da.

Solusi.

Perhatikan bahwa

(ab+bc+cd+da)^2=(a+c)^2(b+d)^2=(a^2+c^2+2ac)(b^2+d^2+2bd)

=(X+2Y)(10-X+8/Y)=10X-X^2+8(X/Y)+20Y-2XY+16.

di mana X=a^2+c^2 dan Y=ac. Perhatikan bahwa X \ge 2Y dan tanpa mengurangi keumuman, karena simetris antara (a,c) dan (b,d), maka boleh diasumsikan Y \ge 2.

Perhatikan bahwa 10X-X^2 =25-(5-X)^2\le 25 dengan kesamaan terjadi saat X=5.

Sekarang, kita  akan memaksimalkan 8\frac{X}{Y}+20Y-2XY. Karena Y \ge 2, kita punyai bahwa

\frac{8}{Y}-2Y \le 0.

Dengan demikian, karena X \ge 2Y, kita punyai

8\frac{X}{Y}-2XY \le 8 \frac{2Y}{Y}-4Y^2=16-4Y^2.

Jadi, kita peroleh

8\frac{X}{Y}+20Y-2XY \le 16+20Y-4Y^2 \le 41-4(\frac{5}{2}-Y)^2 \le 41.

Jadi, diperoleh

(ab+bc+cd+da)^2 \le 25+41+16=82.

Kesamaan terjadi saat a^2+c^2=5 dan ac=\frac{5}{2}. Ini memiliki solusi a=c=\sqrt{\frac{5}{2}}. Demikian pula b^2+d^2=5 dan bd=\frac{8}{5}. Ini juga memiliki solusi karena 5> 2 \cdotp \frac{8}{5}.

Nilai maksimum ab+bc+cd+da adalah \sqrt{82}.

Refleksi

Soal ini sulit, namun sebenarnya cukup sederhana jika mau bersabar dalam memilih ketaksamaan-ketaksamaan yang ingin digunakan. Dari 20 siswa-siswi SMA yang mengikuti Pelatnas Tahap 2 IMO, hanya 1 yang berhasil menjawab soal ini dengan sempurna dan semua yang lain hanya bernilai 0 atau 1 angka.

Kebanyakan peserta secara sembarang memaksa menggunakan ketaksamaan.  Hampir semuanya bahkan menebak tanpa dasar nilai maksimumnya adalah 9.

Padahal setidaknya ketika mereka sudah mengambil variabel X=a^2+c^2 dan Y=ac, mereka seharusnya sudah bisa cukup tenang karena ketaksamaan ini sebenarnya hanya ketaksamaan dua variabel dalam X dan Y dengan kendala rutin: X \ge 2Y. Mungkin intuisi tentang optimisasi dalam variabel seperti ini belum biasa. Mungkin, selanjutnya, soal-soal seperti ini perlu dijadikan rutinitas.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s