Persamaan fungsi yang mengakibatkan sifat kontinu

Ketika di pelatnas tahap 2 kemarin, saya mendapatkan 3 sesi aljabar dan di sesi ini saya isi dengan materi persamaan fungsi. Di sesi ini, saya sempat mengatakan dalam banyak kasus, untuk soal persamaan fungsi, jika suatu fungsi tidak diketahui bahwa ia bersifat kontinu, biasanya pencarian fungsi yang memenuhi persamaan tersebut tidak bisa melalui pembuktian sifat kontinu terlebih dahulu. Namun, ternyata Hendri menemukan satu soal persamaan fungsi di mana kita bisa membuktikan sifat kontinuitas fungsi tersebut. Berikut adalah soalnya.

Soal. Tentukan semua fungsi f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+ yang memenuhi f(x+y)-f(x-y)=4\sqrt{f(x)f(y)} untuk semua x,y \in \mathbb{R}^+ dengan x>y.

Agar tidak terlalu panjang, kita hanya akan membuktikan sifat kontinu fungsi ini. Sisanya, pembaca dapat melanjutkan dengan melakukan induksi bahwa f(x)=cx^2 berlaku untuk x bilangan rasional dan menggunakan kontinuitas untuk menunjukkan fungsi ini satu-satunya yang memenuhi di bilangan real.

Oke, berikut adalah bukti bahwa fungsi f yang memenuhi persamaan pada soal kontinu.

Jelas bahwa fungsi tersebut naik tegas (jika a>b, ambil x=\frac{a+b}{2},y=\frac{a-b}{2}, maka f(a)-f(b)=RHS>0). Pertama, akan ditunjukkan bahwa untuk setiap T>0 ada x  cukup kecil sehingga f(x)<T. Asumsikan bahwa terdapat batas bawah M>0 sehingga f(x) \ge M untuk setiap bilangan real positif x. Dengan demikian, untuk setiap x,y, berlaku f(x+y)=4\sqrt{f(x)f(y)}+f(x-y) \ge 4 \sqrt{M \cdotp M}+M>4M. Akibatnya, f(x)>4M untuk setiap bilangan real positif x. Akibatnya lagi, f(x+y) \ge 4 \sqrt{4M \cdotp 4M}+4M > 16M. Namun ini berakibat f(x)>4^nM untuk setiap bilangan asli n. Namun, tidak ada nilai real f(x)  yang lebih besar dari sembarang bilangan real positif 4^nM,n=1,2,3,\dots. Berarti, tidak mungkin ada bilangan real positif M demikian. Jadi, haruslah ada f(x) bisa diambil sekecil-kecilnya.

Sekarang untuk membuktikan kontinuitas, ingat kembali definisi kontinuitas di titik x_0: untuk setiap A>0, ada D>0 sehingga |f(x_0+h)-f(x_0)|<A untuk sembarang 0 \le D < \delta. Kita cukup “memiripkan bentuk” definisi ini dari persamaan fungsi pada soal.

Pilih suatu bilangan real positif x_0, kita akan tunjukkan bahwa fungsi kontinu di x_0. Perhatikan bahwa dengan mengambil x:=x_0+\frac{d}{2} dan y=\frac{d}{2}, maka diperoleh

f(x_0+\frac{d}{2})-f(x_0)=4\sqrt{f(x_0+\frac{d}{2})f(\frac{d}{2})}.

Ambil sembarang bilangan real positif A>0, perhatikan bahwa kondisi

f(x_0+\frac{d}{2})-f(x_0)<A

ekivalen dengan

f(x_0+\frac{d}{2})f(\frac{d}{2})<\frac{A^2}{16} (*).

Perhatikan bahwa pasti dapat dipilih d<1  yang sangat kecil sehingga

f(\frac{d}{2})<\frac{A^2}{16f(x_0+1)}.

Namun ini akan mengakibatkan (*) terpenuhi. Sebut d ini d_0.

Karena sifat monotonitasnya untuk setiap A>0, pasti ada d_0 di atas sehingga f(x_0+d)-f(x_0)<A untuk setiap d<d_0. Ini berarti fungsi f  kontinu. Terbukti.

Refleksi

Jika diperhatikan fungsi pada soal di atas memiliki bentuk yang “homogen” dan tidak ada variabel yang “telanjang”. Mungkin analisis real seperti ini bermanfaat untuk menyelesaikan soal-soal seperti ini. Jika saya menemukan soal berjenis ini lagi, saya akan catat dan bagikan. Siapa tahu dapat inspirasi untuk membuat soal dengan bentuk-bentuk seperti ini. 🙂

Advertisements
This entry was posted in Uncategorized and tagged , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s