OSK Bidang Matematika 2016

Di Olimpiade Sains Kota Bidang Matematika Tingkat SMA tahun ini, ada soal yang terpilih dan kuncinya salah. Itu adalah soal saya. Berikut adalah soalnya.

Soal. Banyaknya bilangan asli n \in \{1,2,3,\dots,1000\} sehingga terdapat bilangan real positif x yang memenuhi x^2+\lfloor x \rfloor^2=n adalah ….

Di kunci jawabannya, tertulis 528. Saya salah membuat kunci jawaban karena salah mengambil batas untuk kasus ujung di sekitar 1000. Berikut adalah solusi yang sebenarnya.

Perhatikan bahwa x=\sqrt{n-\lfloor x \rfloor^2} sehingga x=\sqrt{m}  untuk suatu bilangan asli m. Misalkan m=k^2+l dengan 0 \le l \le 2k, perhatikan bahwa setiap m dapat dinyatakan dengan unik oleh pasangan (k,l) ini (pikirkan jarak antara dua bilangan kuadrat). Sekarang, persamaan akan menjadi 2k^2+l=n. Misalkan suatu bilangan asli n memiliki dua cara penulisan 2k^2+l dengan 0 \le l \le 2k, sebut saja 2a^2+b=2c^2+d=n dengan 0\le b \le 2a, 0 \le d \le 2c. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan a>c, maka jelas bahwa b<d. Perhatikan bahwa ini berakibat 2(a^2-c^2)=d-b. Namun, 2(a^2-c^2)=2(a-c)(a+c) \ge 2(a+c)>2a. Tapi, d-b<d \le 2c < 2a. Kontradiksi. Jadi, haruslah representasi 2k^2+l ini unik. Berarti untuk setiap k dengan 2k^2 \le 2k^2+l \le 1000, yaitu k \le 22, ada sebanyak 2k+1 bilangan l yang memenuhi kecuali, untuk k=22, karena batas 1000 ini, haruslah 2 \cdotp 22^2+l \le 1000, yaitu l \le 32, sehingga ada 33 bilangan yang memenuhi. Jadi, banyaknya bilangan asli n yang memenuhi adalah

\displaystyle \sum_{k=1}^{21} (2k+1)+32=22^2-1+33=516.

Refleksi

Ini akan berbeda jika kita tidak mengganti batas untuk k=21, jawabannya menjadi

\displaystyle \sum_{k=1}^{21} (2k+1)=528,

yang merupakan kunci jawaban pada ujian OSK tahun ini. Ketika itu, sebenarnya kuncinya juga salah; tertulis 529. Namun, sempat diperbaiki. Namun, ternyata kesalahan minor ini membuat kesalahan mayornya tertutupi, yaitu mengganti batas untuk kasus ujung.

Pastinya ada pihak-pihak yang dirugikan karena kesalahan ini. Untuk itu, saya secara personal meminta maaf atas kesalahan ini. Kita sudah berusaha untuk meminimalisir kesalahan pada saat menyusun soal namun ternyata masih ada yang tergelincir seperti ini.

 

Advertisements

One thought on “OSK Bidang Matematika 2016

  1. sedikit mau nanya: kenapa setelah bagian “2k^2+l=n”, perlu dibuktikan bahwa representasi seperti ini unik? ._. *butuhpenjelasankonkrit

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s