Meletakkan 5 benteng pada papan catur 8×8

Diberikan sebuah papan catur berukuran 8 \times 8 dan akan diletakkan 5 buah pion pada papan catur secara acak sehingga setiap kotak berisi paling banyak satu pion. Tentukan peluang bahwa kelima pion berada di baris maupun kolom yang berbeda-beda.

Soal di atas adalah soal Ujian Tengah Semester (UTS) mata kuliah Statistika & Probabilitas di Fasilkom UI. Saya pikir soal ini dianggap cukup sulit oleh beberapa mahasiswa yang saya tanyakan. Menurut saya, ini adalah soal yang cukup bagus untuk mendemonstrasikan apakah mahasiswa sudah memahami prinsip  pencacahan (yang merupakan prasyarat dari mata kuliah ini, meskipun bukan materi pokok).

Untuk melakukan perhitungan peluang, pertama-tama kita biasanya dapat menghitung ukuran ruang sampel dengan mudah. Di sini diasumsikan pionnya dapat dibedakan. Perhatikan bahwa banyaknya cara meletakkan 5  pion agar berada di kotak yang berbeda-beda adalah 64 \times 63 \times 62 \times 61 \times 60. Sekarang, kita cukup cari banyaknya kemungkinan kejadian yang diharapkan. Banyak cara meletakkan 5 pion agar berbeda kolom maupun baris adalah 64 \times 49 \times 36 \times 25 \times 16. Hal ini karena ada 64 posisi yang mungkin untuk pion pertama. Kemudian, pembuangan kotak-kotak yang sebaris maupun sekolom dengan pion pertama akan menghasilkan papan catur berukuran 7 \times 7. Jadi, banyaknya kemungkinan posisi pion kedua adalah 49. Demikian seterusnya, banyak kemungkinan posisi untuk pion ketiga, keempat, dan kelima adalah 36, 25, dan 16. Jadi, peluangnya adalah

\displaystyle \frac{64 \times 49 \times 36 \times 25 \times 16}{64 \times 63 \times 62 \times 61 \times 60}.

Nilai ini kurang lebih adalah 0.0493566\dots.

Advertisements