FPB dua bilangan menarik

Diberikan bilangan asli n. Tunjukkan bahwa \text{FPB}(n,\lfloor n\sqrt{2} \rfloor)< \sqrt[4]{8} \sqrt{n}.

Misalkan 2n^2 = k^2+l untuk suatu bilangan bulat positif k dan bilangan cacah l dengan 0 \le l \le 2k. Perhatikan bahwa dengan permisalan ini, akan diperoleh hubungan \lfloor n\sqrt{2} \rfloor = k.

Misalkan d=\text{FPB}(n,k), kita bisa menuliskan n=dn_1 dan k=dk_1 untuk suatu bilangan asli n_1 dan k_1  yang relatif prima.

Dari persamaan diperoleh bahwa 2d^2n_1^2=2d^2k_1^2+l sehingga d^2(2n_1^2-k_1^2)=l. Namun, karena ruas kanan tak negatif dan tidak mungkin 2n_1^2=k_1^2, haruslah d^2 \le l \le 2k \le 2n\sqrt{2}. Ini berakibat d \le \sqrt[4]{8} \sqrt{n}. QED

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s