Hukum Sinus

Pada postingan ini, saya akan menuliskan suatu teorema terkait sisi segitiga dan besar sinus sudut di depannya. Teorema ini biasanya disebut Hukum Sinus. Hukum sinus merupakan salah satu teorema yang sangat berguna dalam menyelesaikan permasalahan olimpiade.

Misalkan kita diberikan sebuah lingkaran \Gamma dengan titik pusat O dan jari-jari R. Misalkan A,B,C merupakan titik-titik pada lingkaran. Sebagai kesepakatan, notasi a,b,c akan menyatakan panjang sisi-sisi BC,CA,AB.

Ambil titik B' pada lingkaran demikian sehingga BB' merupakan diameter lingkaran tersebut. Dengan demikian, diperoleh bahwa \angle BAB' berukuran 90^{\circ}. Kemudian, perhatikan bahwa sudut \angle BB'A = \angle BCA = C. Dengan menggunakan sifat sinus pada segitiga BAB', maka diperoleh

\displaystyle \sin C = \sin BB'A =\frac{BA}{BB'} = \frac{c}{2R}

Dengan demikian, diperoleh \displaystyle 2R = \frac{c}{\sin C}.

Dengan cara yang serupa, dapat kita peroleh bahwa

\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R.

Jika Anda merupakan pembaca yang sangat hati-hati, Anda akan berpikir apakah barisan argumen di atas juga akan berlaku untuk kasus ABC membentuk segitiga tumpul (yang terjadi jika dan hanya jika titik O berada di luar segitiga ABC). Biasanya untuk memeriksa kasus ini, Anda cukup menggambar ulang sesuai kasus yang Anda pertimbangkan ini namun Anda tidak perlu menggunakan argumen baru. Cukup telusuri argumen-argumen pada kasus segitiga lancip dan pastikan setiap kalimat juga benar dalam ilustrasi yang sedang Anda diskusikan. Jika memerlukan revisi, biasanya Anda cukup melakukan sedikit revisi argumen menjadi lebih umum yang biasanya hanya pada bagian-bagian tertentu.

Dari hukum sinus ini, kita dapat menurunkan rumus-rumus  berikut.

Latihan 1. Diberikan segitiga ABC, maka berlaku a = b \cos C + c \cos B. Gunakan pula hukum sinus untuk menunjukkan bahwa \sin(B+C)=\sin B \cos C + \sin C \cos B.

Latihan 2. Di sembarang segitiga ABC,

a(\sin B - \sin C) + b(\sin C - \sin A) + c(\sin A - \sin B)=0.

Latihan 3. Pada sembarang segitiga ABC, luas segitiga ABC diberikan oleh rumus

\displaystyle (ABC) = \frac{abc}{4R}.

Latihan 4. Misalkan p dan q merupakan radius dari dua buah lingkaran yang melalui titik A dan menyinggung sisi BC di titik B dan C, berturut-turut. Tunjukkan bahwa pq=R^2.

Solusi… (menyusul)

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s