Solusi IMC 2015 Hari 1 Soal 1

Perhatikan bahwa A,B,A+B punya invers sehingga determinan mereka tidak nol. Misalkan determinannya berturut-turut adalah x,y,z.
Dari persamaan, diperoleh (A+B)(A^{-1}+B^{-1})=O sehingga dengan menyusun persamaan, diperoleh I+AB^{-1}+BA^{-1}=O. Kalikan kedua ruas dari kanan dengan B, diperoleh A+B=-BA^{-1}B. Dengan cara yang sama, tapi dengan matriks A, diperoleh A+B=-AB^{-1}A. Dari kedua persamaan terakhir, diperoleh y^2/x = x^2/y = (-1)^{n} z sehingga diperoleh x^3 = y^3. Karena x,y real, maka harudlah x=y. Terbukti.
Jika matriks A,B matriks kompleks belum tentu. Misalkan A matriks identitas dan B matriks yang diperoleh dari matriks identitas tetapi mengganti elemen pertamanya dengan \text{cis}(2\pi/3). Mudah dicek bahwa matriks ini memenuhi persamaan yang diberikan tetapi determinan A dan B berbeda.

Advertisements
This entry was posted in Uncategorized. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s