Apakah koleksi semua kardinalitas merupakan himpunan?

Pak Fajar Yuliawan, salah satu pembina saya di bidang matematika, yang sedang belajar untuk menyelesaikan S3-nya ternyata juga sedang belajar teori himpunan sebagai salah satu topik di bidang teori kategori yang ia pelajari. Beberapa hari yang lalu, kami berdiskusi tentag sebuah masalah.

Misalkan S adalah koleksi semua kardinalitas. Tunjukkan bahwa S bukan himpunan.

Bukti.

Untuk mencapai kontradiksi, kita anggap S merupakan sebuah himpunan. Artinya, sembarang himpunan \alpha memiliki bijeksi dengan tepat sebuah anggota \beta \in S.

Ambil sebuah himpunan \displaystyle T = \bigcup (S) yaitu himpunan yang diperoleh dengan menggabungkan semua anggota-anggota S. Karena S himpunan, koleksi T yang didefinisikan seperti ini juga himpunan.

Perhatikan bahwa tidak ada injeksi dari P(T) ke T. Karena P(T) merupakan himpunan juga, maka tidak ada juga injeksi dari P(T) ke sebarang x \subseteq T, di mana x \in S. Namun, ini berarti kardinalitas dari P(T) tidak memiliki wakil di dalam himpunan S. Kontradiksi.

 

Advertisements
This entry was posted in Uncategorized. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s