Latihan Tentang Ordinal 2

Berikut adalah soal-soal latihan lagi tentang ordinal. Kali ini, soalnya lebih mudah karena cukup mengaplikasikan yang sudah dibuktikan.

Latihan 6. Tunjukkan bahwa \emptyset merupakan ordinal terkecil.

Latihan 7. Tunjukkan bahwa \omega merupakan ordinal.

Latihan 8. Sebut suatu ordinal \alpha infinite jika n_o < \alpha untuk semua bilangan asli n.  Tunjukkan bahwa \omega merupakan ordinal infinite terkecil.

Latihan 9. Tunjukkan bahwa \omega \ne \omega'.

Latihan 10. Tunjukkan bahwa terdapat bijeksi antara \omega dan \omega'.


Latihan 6.
Untuk sebarang ordinal \alpha, berlaku \alpha < \emptyset atau \emptyset < \alpha. Namun, \emptyset merupakan himpunan kosong sehingga tidak mungkin \alpha < \emptyset. Jadi, \emptyset < \alpha untuk sebarang ordinal \alpha.

Latihan 7.

Perhatikan bahwa \omega = \{ 0_o, 1_o, \dots \} merupakan himpunan ordinal. Dengan sifat bahwa jika A  merupakan himpunan ordinal maka \displaystyle \bigcup (A) merupakan ordinal, maka berlaku bahwa \displaystyle \bigcup (\omega) = \omega merupakan ordinal.

Latihan 8.

Misalkan \alpha merupakan ordinal infinite. Perhatikan karena \omega juga ordinal, maka \alpha < \omega, \alpha = \omega, atau \omega < \alpha. Jika \alpha < \omega, maka \alpha = n_o untuk suatu bilangan asli n_o. Namun, jelas bahwa \alpha = n_o < n_o + 1_o, sehingga \alpha bukan ordinal infinite. Jadi, jika \alpha oridnal infinite haruslah \alpha = \omega atau \omega < \alpha. Jadi, \omega adalah ordinal infinite terkecil.

Latihan 9.

Perhatikan bahwa \omega' = \omega \cup \{ \omega \}. Dengan demikian, \omega \in \omega' atau \omega \notin \omega. Jadi, \omega \ne \omega'.

Latihan 10.

Definisikan f: \omega \rightarrow \omega' dengan f(0) = \omega dan f(n_o') = n_o untuk setiap ordinal n_o. Mudah ditunjukkan bahwa f merupakan bijeksi.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s