IMO 2015 Soal 1

IMO 2015 Hari Pertama

Soal 1. Himpunan berhingga \cal{S} terdiri dari titik-titik di bidang kita katakan seimbang jika untuk setiap dua titik berbeda A dan B di \cal{S}, terdapat suatu titik C di \cal{S} sehingga AC=BC. Himpunan \cal{S} kita katakan bebas-pusat jika untuk setiap tiga titik berbeda A,B, dan C di \cal{S}, tidak terdapat titik P di \cal{S} sehingga PA=PB=PC.

(a) Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan bulat n \ge 3, terdapat himpunan seimbang yang terdiri dari n titik.

(b) Tentukan semua bilangan bulat n \ge 3 sehingga terdapat himpunan seimbang yang bebas pusat dan terdiri dari n titik.

Solusi. (Raja Oktovin)

(a) Jika n bilangan ganjil, maka cukup ambil sebuah segi-n beraturan A_1A_2 \dots A_n. Untuk setiap dua titik A_i dan A_j, pandang dua buah barisan titik A_{i+1},A_{i+2},\dots,A_{j-1} dan A_{j+1},A_{j+2},\dots,A_{i-1} (boleh barisan kosong). Perhatikan bahwa tepat salah satu dari kedua barisan ini mengandung ganjil anggota. Pilih titik A_k  yang berada tepat di tengah-tengah barisan tersebut. Jelas bahwa karena A_1A_2 \dots A_n segi-n beraturan, maka A_kA_i=A_kA_j.

Jika n  bilangan genap, kita tunjukkan dengan induksi. Pertama, untuk n=4, pada lingkaran berpusat di O, pilih tiga titik A,B,C pada keliling lingkaran sehingga OAB dan OBC segitiga sama sisi. Dapat ditunjukkan dengan mudah bahwa konstruksi ini memenuhi. Sekarang, jika untuk n benar, maka untuk n+2 juga benar karena kita dapat memilih dua buah titik pada lingkaran lagi, sebut saja P dan Q, sehingga POQ segitiga sama sisi. Konstruksi ini memenuhi karena jika dipilih dua titik pada keliling lingkaran, titik O akan menjadi titik yang jaraknya sama dengan keduanya dan jika dipilih satu titik X pada keliling lingkaran bersama dengan O, titik lain Y sehingga XOY akan menjadi titik yang jaraknya sama ke O dan Y.

(b) Jika n ganjil, pasti memenuhi karena bisa dibuat konstruksi pada bagian (a) untuk kasus n ganjil.

Sekarang asumsikan bahwa n genap. Misalkan titik-titiknya adalah P_1,P_2,\dots,P_n. Sebut sebuah titik P menjadi penyeimbang jika PA=PB untuk suatu pasangan titik A,B. Perhatikan bahwa terdapat {n \choose 2} pilihan pasangan titik sementara hanya terdapat n titik. Dengan demikian, terdapat titik yang menjadi penyeimbang sebanyak sedikitnya \frac{1}{n}{n \choose 2} kali. Artinya, ada titik yang menjadi penyeimbang sedikitnya sebanyak \frac{n}{2} kali. Sebut titik ini sebagai O dan misalkan P_1,P_2,\dots,P_{n-1} merupakan titik-titik lainnya. Perhatikan bahwa, karena n genap, hanya ada \frac{n-2}{2} pasangan saling asing yang dapat dipilih dengan anggota dari n-1 titik. Dengan demikian, O menjadi penyeimbang untuk dua buah pasangan P_i,P_j dan P_i,P_k untuk suatu indeks i,j,k. Akibatnya OP_i=OP_j=OP_k. Akibatnya, tidak mungkin terdapat n titik yang seimbang dan bebas-pusat.

Jadi, yang memenuhi adalah yang ganjil.

Advertisements
This entry was posted in Uncategorized. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s