Polinomial Berderajat 3 [AIME 2015]

Soal. Misalkan f(x) merupakan polinomial berderajat tiga dengan koefisien-koefisien bilangan real yang memenuhi

|f(1)|=|f(2)|=|f(3)|=|f(5)|=|f(6)|=|f(7)|=12.

Cari nilai |f(0)|.

Solusi. (Raja Oktovin)

Pandang polinomial g(x)=f(x)^2-144. Perhatikan bahwa g(1)=g(2)=g(3)=g(5)=g(6)=g(7)=0 sementara g(x) memiliki derajat 6 sehingga 1,2,3,5,6,7 merupakan semua akar-akar dari g(x). Tulis g(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)(x-6)(x-7). Perhatikan bahwa harus dicari konstanta a agar polinomial h(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)(x-6)(x-7)+144 merupakan kuadrat suatu polinomial berderajat tiga dan berkoefisien bilangan real. Perhatikan bahwa dengan demikian terdapat sebuh bilangan real t sehingga multiplitas t pada polinomial h(x) sedikitnya adalah 2. Dengan demikian, terdapat bilangan real t sehingga memenuhi h(t)=h'(t)=0 yaitu a(t-1)(t-2)(t-3)(t-5)(t-6)(t-7)+144=0 dan a(t-1)(t-2)(t-3)(t-5)(t-6)(t-7) \left( \frac{1}{t-1}+\frac{1}{t-2}+\frac{1}{t-3}+\frac{1}{t-5}+\frac{1}{t-6}+\frac{1}{t-7} \right) = 0. Dari kedua persamaan, karena a(t-1)(t-2)(t-3)(t-5)(t-6)(t-7) =-144 \ne 0, maka haruslah \frac{1}{t-1}+\frac{1}{t-2}+\frac{1}{t-3}+\frac{1}{t-5}+\frac{1}{t-6}+\frac{1}{t-7}=0 dan dengan memisalkan s=t-4, persamaan dapat diubah menjadi \frac{2s}{s^2-1}+\frac{2s}{s^2-4}+\frac{2s}{s^2-9}=0 di mana jelas bahwa s \ne 0 (mengapa?). Misalkan lagi u=s^2, maka persamaan menjadi (u-1)(u-4)+(u-4)(u-9)+(u-9)(u-1)=0 sehingga diperoleh u= \frac{7}{3} atau u=7. Dari sini, diperoleh bahwa s= \pm \sqrt{\frac{7}{3}}, \pm \sqrt{7}. Lebih jauh, diperoleh t=4 \pm \sqrt{\frac{7}{3}}, 4 \pm \sqrt{7}. Untuk t = 4 \pm \sqrt{7}{3}, akan diperoleh nilai a yang negatif sementara adalah koefisien utama dari kuadrat polinomial real; sehingga tidak mungkin negatif. Untuk a=4 \pm \sqrt{7}, akan diperoleh nilai a yang sama yaitu a=\frac{144}{36}=4. Dengan demikian, diperoleh |f(0)|^2=|4(-1)(-2)(-3)(-5)(-6)(-7)+144|=5184 sehingga |f(0)|=72.

Advertisements
This entry was posted in Uncategorized. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s