Penghuni Pulau Berbohong

Berikut ini adalah soal tentang peluang yang cukup menarik sebagai pengenalan terhadap aturan Bayes. Dulu soal ini diberikan oleh Prof. Stephanie Wehner di kelas Information Theory ketika pertukaran pelajar selama satu semester di National University of Singapore.

The inhabitants of an island tell the truth one third of the time. They lie with probability 2/3. On an occasion, after one of them made a statement, you ask another ‘was that statement true?’ and he says ‘yes’.
What is the probability that the statement was indeed true?

Soal ini dapat dilihat di buku Information theory, inference, and learning algorithm of David J. C. MacKay.

Berikut adalah solusinya. Misalkan A menyatakan kejadian jawaban penghuni pulau adalah ‘yes’ dan B menyatakan kejadian pernyataan penghuni pulau tersebut benar. Melihat si pembuat pernyataan, diperoleh P(B)=1/3. Kemudian sebagai respon, diperoleh bahwa P(A|B)=1/3 dan P(A|B^c)=2/3. Yang ditanyakan adalah P(B|A).

Perhatikan bahwa dengan aturan Bayes

P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A|B)P(B)+P(A|B^c)P(B^c)}

sehingga diperoleh

P(B|A) = \frac{\frac{1}{3} \cdotp \frac{1}{3}}{\frac{1}{3} \cdotp \frac{1}{3}+\frac{2}{3} \cdotp \frac{2}{3}} = \frac{1}{5}.

Jadi, peluang pernyataan tersebut benar adalah \frac{1}{5}. Ini sangat kecil.

Bagaimana jika peluang penduduk pulau tersebut jujur dengan peluang p?

Dengan alur kerja yang sama, dapat ditunjukkan bahwa P(B|A) = \frac{p^2}{p^2+(1-p)^2}. Sebagai fungsi dalam p, berikut adalah diagram nilai peluangnya yang ternyata menyerupai kurva logistik! 🙂

f(p) = p^2/(p^2+(1-p)^2)

f(p) = p^2/(p^2+(1-p)^2)

Dapat dilihat bahwa perubahan nilai di sekitar nilai ujung p \approx 0,1 sangat kecil. Intuisi dari diagram ini adalah kebenaran pernyataan ini akan lebih jelas setelah menanyakan kebenaran pernyataan dengan penghuni penduduk yang lain (semakin mendekati nilai 0 jika peluang penghuni jujur kurang dari 1/2 dan semakin mendekati 1 jika peluang penghuni lebih dari 1/2). Hal ini dilihat dengan membandingkan grafik fungsi di atas dengan fungsi linear f(p)=p yang pada dasarnya peluang pernyataan benar tanpa menggunakan informasi dari penghuni pulau yang lain. Ini berarti, baik penghuni pulai berbohong atau tidak, lebih baik kita tetap bertanya sebagai konfirmasi.

Perhatikan bahwa bertanya ke penghuni pulau, tanpa mengetahui peluang mereka berbohong, sama sekali tidak membantu dalam menentukan apakah pernyataan benar atau tidak; hanya menekan peluang kebenaran pernyataan ke yang sebenarnya jika penduduk “agak jujur” (yaitu, peluang jujur lebih dari 1/2) dan ke yang sebaliknya jika penduduk lebih cenderung berbohong. Tingkat kepastian inilah yang kemudian dikenal dengan istilah entropi.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s