Ketaksamaan Fungsi Komposisi [Pelatnas IMO 2015]

Soal. Misalkan a bilangan real pada interval terbuka (0,1), n bilangan bulat lebih dari 1 dan f_n:\mathbb{R} \to \mathbb{R} dengan f_n(x) = x+\frac{x^2}{n}. Buktikan bahwa

\frac{a(1-a)n^2+2a^2n+a^3}{(1-a)^2n^2+a(2-a)n+a^2} < (\underbrace{f_n \circ f_n \circ \dots \circ f_n}_n)(a) < \frac{an+a^2}{(1-a)n+a}.

Solusi. (Raja Oktovin)

Kita definisikan a_k = f^{(k)}_n(a). Perhatikan bahwa a_{k+1}=f(a_k)=a_k\left( 1+\frac{a_k}{n} \right) sehingga \frac{1}{a_{k+1}}=\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_k+n}. Dengan demikian,

\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\dots+\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots+\frac{1}{a_{n-1}} - \left( \frac{1}{a_1+n}+\frac{1}{a_2+n}+\dots+\frac{1}{a_{n-1}+n} \right)

\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1} - \sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{a_i+n}

\frac{a_1}{a_n} = 1 - \sum_{i=1}^{n-1} \frac{a_1}{a_i+n}. \quad (1)

Ketaksamaan tengah-kanan dapat ditulis sebagai

\frac{a_1}{a_n} > \frac{a}{n} + 1-a.

Dari (1), cukup ditunjukkan bahwa

a-\frac{a}{n} > \sum_{i=1}^{n-1} \frac{a_1}{a_i+n}.

Perhatikan bahwa a=a_0<a_1<a_2<\dots<a_n sehingga diperoleh

\sum_{i=1}^{n-1} \frac{a_1}{a_i+n} < \frac{(n-1)a_1}{a_0+n} = a - \frac{a}{n}

sesuai yang ingin ditunjukkan.

Sekarang akan ditunjukkan ketaksamaan kiri-tengah.

Misalkan P=a(1-a)n^2+2a^2n+a^3 dan Q=(1-a)^2n^2+a(2-a)n+a^2, maka P-aQ=a^2n( (1-a)n+a).

Akan ditunjukkan bahwa

\frac{P}{Q} < a_n

\frac{1}{a_n} < \frac{Q}{P}

\frac{1}{a}-\frac{Q}{P} < \frac{1}{a} - \frac{1}{a_n}

\frac{a^2n((1-a)n+a))}{aP} < \frac{1}{a}-\frac{1}{a_n}

\frac{(1-a)n+a}{(1-a)n+a+a+\frac{a^2}{n}} < \frac{1}{a}-\frac{1}{a_n}

\frac{1}{1+\frac{a_1}{(1-a)n+a}} < \frac{1}{a}-\frac{1}{a_n}

Dari ketaksamaan tengah-kanan, kita sudah punyai bahwa \frac{a_1}{(1-a)n+a} > \frac{a_n}{n}.

Dengan demikian, cukup ditunjukkaan bahwa

\frac{n}{a_n+n} < \frac{1}{a}-\frac{1}{a_n}.

Perhatikan bahwa

\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a} - \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{a_i+n}

dan karena a=a_0<a_1<a_2<\dots<a_n, berlaku

\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a} - \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{a_i+n} > \frac{1}{a} - \frac{n}{a_n+n}

sehingga ketaksamaan yang ingin ditunjukkan terbukti.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s