Ketaksamaan Shapiro [1]

Ketaksamaan Shapiro menyatakan bahwa ketaksamaan

\frac{x_1}{x_2+x_3}+\frac{x_2}{x_3+x_4}+\dots+\frac{x_n}{x_1+x_2} \ge \frac{n}{2}

berlaku untuk semua bilangan asli n dan bilangan real positif x_1,x_2,\dots,x_n.

Pada post ini, akan dituliskan bukti ketaksamaan tersebut untuk n=3,4,5, dan 6.

Bukti untuk n=3

Untuk n=3, ketaksamaan Shapiro menjadi ketaksamaan Nesbitt yang cukup dikenal, yaitu

\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \ge \frac{3}{2}

untuk sebarang nilai positif a,b,c. Ini dapat dibuktikan dengan berbagai cara. Perhatikan bahwa dengan ketaksamaan AM-HM,  untuk setiap a,b,c>0, berlaku

\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \ge \frac{9}{(a+b)+(b+c)+(c+a)}=\frac{9}{2(a+b+c)}.

Ketaksamaan terakhir ekivalen dengan

\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a} \ge \frac{9}{2}

\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+3 \ge \frac{9}{2}

yang ekivalen dengan ketaksamaan Nesbitt yang ingin dibuktikan.

\blacksquare

Bukti untuk n=4

Perhatikan bahwa untuk n=4, ketaksamaannya adalah

\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b} \ge 2.

Kita dapat menggunakan ketaksamaan Cauchy-Schwarz, diperoleh

\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b} \ge \frac{(a+b+c+d)^2}{ab+ac+bc+bd+cd+ca+da+db}.

Dengan demikian, cukup ditunjukkan bahwa

(a+b+c+d)^2 \ge 2(ab+ac+ad+bc+bd+ed)

a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) \ge 2(ab+2ac+ad+bc+2bd+cd)

a^2+b^2+c^2+d^2 \ge 2ac+2bd.

Namun, ketaksamaan terakhir ekivalen dengan

(a-c)^2+(b-d)^2 \ge 0

yang jelas benar karena bilangan kuadrat  tidak mungkin negatif.

\blacksquare

Bukti untuk n=5

Untuk n=5, ketaksamaannya menjadi berbentuk

\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+e}+\frac{d}{e+a}+\frac{e}{a+b} \ge \frac{5}{2}.

Perhatikan bahwa dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz, berlaku

\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+e}+\frac{d}{e+a}+\frac{e}{a+b} \ge \frac{(a+b+c+d+e)^2}{ab+ac+bc+bd+cd+ce+de+da+ea+eb}.

Dengan demikian, kita cukup membuktikan bahwa

2(a+b+c+d+e)^2 \ge 5(ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de)

2(a^2+b^2+c^2+d^2)+4(ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de) \ge 5(ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de)

2(a^2+b^2+c^2+d^2) \ge ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de

yang ekivalen dengan

(a-b)^2+(a-c)^2+(a-e)^2+(b-c)^2+(b-d)^2+(b-e)^2+(c-d)^2+(c-e)^2+(d-e)^2 \ge 0

yang jelas benar.

\blacksquare

Bukti untuk n=6

Kita gunakan ketaksamaan Cauchy-Schwarz lagi, diperoleh

\sum \frac{a}{b+c} \ge \frac{(a+b+c+d+e+f)^2}{ab+ac+bc+bd+cd+ce+de+df+ef+ea+fa+fb}

sehingga cukup dibuktikan bahwa

(a+b+c+d+e+f)^2 \ge 3(ab+ac+ae+af+bc+bd+bf+cd+ce+de+df+ef).

Ketaksamaan terakhir dapat ditulis sebagai

a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+2(ab+ac+ad+ae+af+bc+bd+be+bf+cd+ce+cf+de+df+ef) \ge 3(ab+ac+ae+af+bc+bd+bf+cd+ce+de+df+ef)

yang ekivalen dengan

a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+2ad+2be+2cf \ge ab+ac+ae+af+bc+bd+bf+cd+ce+de+df+ef.

Ketaksamaan dapat ditulis sebagai

(a+d)^2+(b+e)^2+(c+f)^2 \ge ab+ac+ae+af+bc+bd+bf+cd+ce+de+df+ef.

Perhatikan bahwa dengan ketaksamaan AM-GM (atau no square is negative), tiga buah ketaksamaan berikut dapat diperoleh:

(a+d)^2+(b+e)^2 \ge 2(a+d)(b+e) = 2ab+2ae+2bd+2ed

(a+d)^2+(c+f)^2 \ge 2(a+d)(c+f) =2ac+2af+2cd+2df

(b+e)^2+(c+f)^2 \ge 2(b+e)(c+f)=2bc+2bf+2ce+2ef

dan dengan menjumlahkan ketiga buah ketaksamaan dan membagi dengan konstanta 2, diperoleh

(a+d)^2+(b+e)^2+(c+f)^2 \ge ab+ac+ae+af+bc+bd+bf+cd+ce+de+df+ef

yang persis dengan ketaksamaan terakhir yang ingin dibuktikan.

\blacksquare

Pada  tulisan berikutnya, akan ditunjukkan bahwa ketaksamaan Shapiro tidak selalu benar karena terdapat n dan bilangan real positif x_1,x_2,\dots,x_n yang membuat ketaksamaan tersebut salah. Akan ditunjukkan beberapa kondisi bagi bilangan real x_1,x_2,\dots,x_n agar ketaksamaan dapat berlaku.

Advertisements
This entry was posted in Matematika, Uncategorized. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s