ON MIPA PT 2012

Hari Pertama

 

Soal 1. Misalkan f:[a,b] \to [a,b]  fungsi dengan \displaystyle |f(x)-f(y)| \le \dfrac{|x-y|}{3} untuk semua x,y\in [a,b].  Tunjukkan bahwa terdapat c \in [a,b] sehingga f(f(f(c))) = c.

Soal 2. Misalkan Z merupakan suatu subgrup dari grup G dengan zg = gz untuk semua z \in Z, g \in G. Jika G/Z merupakan grup siklis, tunjukkan bahwa G merupakan grup Abelian.

Soal 3. Misalkan V merupakan ruang vektor atas bilangan real. Vektor-vektor v_1,v_2,\dots,v_n disebut bergantung afin jika terdapat bilangan-bilangan real a_1,a_2,\dots,a_n yang tak semuanya nol demikian sehingga a_1+a_2+\dots+a_n=0 dan a_1 v_1 +a_2 v_2 +\dots + a_n v_n =0. Selain itu, vektor-vektor tersebut disebut bebas afin.

(i) Tunjukkan bahwa vektor 0 bebas afin.

(ii) Cari contoh empat vektor di \mathbb{R}^4 yang bebas afin tetapi tidak bebas linear.

Soal 4. Misalkan f merupakan fungsi holomorfik kecuali di berhingga titik di sebelah dalam suatu lengkungan tertutup berorientasi positif C.

(a) Buktikan bahwa 

\displaystyle \int_C f(z) dz = 2i \pi \mathrm{Res}_{z=0} \left( \dfrac{1}{z^2} f\left(\dfrac{1}{z}\right) \right).

(b) Gunakan hasil pada (a) untuk menghitung

\displaystyle \int_C \dfrac{z^5}{1-z^3} dz

di mana C merupakan lingkaran |z|=2.

Soal 5. Tunjukkan dengan argumen kombinatorik bahwa

\displaystyle \sum_{k=1}^{n-2} k {n-2 \choose k} {n+2 \choose k+2} = (n-2) {2n-1 \choose n-1}.

Hari Kedua

Soal 6. Misalkan R himpunan tak kosong dengan operasi + dan \times sehingga:

(i) (R,+) membentuk grup.

(ii) (R, \times) asosiatif dan memiliki unsur identitas

(iii) a \times (b+c) = a \times b + a \times c and (a+b) \times c = a \times c + b \times c.

Tunjukkan bahwa (R,+,\times) merupakan gelanggang.

Soal 7. Misalkan f merupakan fungsi entire dengan \mathrm{Re}(f(z)) \le 2/|z| untuk semua |z| \ge 1. Cari semua f.

Soal 8. Misalkan y_1,y_2,\dots merupakan barisan bilangan real dengan y_n^2 -y_{n-1}y_{n+1} =1 untuk semua n \ge 2. Tunjukkan bahwa y_{n+1} = cy_{n}-y_{n-1} untuk semua n \ge 2.

Soal 9. Misalkan V merupakan ruang vektor atas lapangan \mathbb{F} dengan \dim_{\mathbb{F}}(V) =n. Misalkan T merupakan transformasi linear dari V ke V. Tunjukkan bahwa terdapat K \le n demikian sehingga \mathrm{Peta}(T^K) = \mathrm{Peta}(T^{K+i}) untuk setiap bilangan asli i.

Soal 10. Misalkan f:[a,b] \to \mathbb{R} merupakan fungsi terdiferensiabel dengan f(a) =0. Misalkan terdapat k>0, m>0 sehingga |f'(x) - kf(x)| \le m|f(x)| untuk semua x \in [a,b]. Tunjukkan bahwa f(x)=0 untuk semua x \in [a,b].

Advertisements
This entry was posted in Uncategorized. Bookmark the permalink.

4 Responses to ON MIPA PT 2012

  1. Erwin says:

    Kak, yang soal ON MIPA 2012 nomer 7, f-nya apa ya?

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s