Birthday Paradox?

Tadi gw abis ujian StatProb. Mudah-mudahan nilai gw lumayan bagus, soalnya gw suka banget mata kuliah yang satu ini. Nyesek deh kalo suka banget tapi ga dapet bagus. Tapi UTS gw rada fail gara-gara gw salah makai rumus Spearman-Rho. Langsung drop 10 poin deh. Hiks hiks.  Senin sore, Ivan Masli nanya ke gw, kuliah StatProb itu belajar ini itu nggak, kayak Gaussian distribution, dan sebagainya. Salah satu yang ditanyakannya adalah birthday paradox. Yah, kalau Gaussian kan belajar di kelas memang, tapi gw bilang birthday paradox nggak tuh, karena emang ga masuk silabus.

Terus, tadi siang gw ujian tengah semester StatProb. Ternyata esay nomor 3-nya tentang birthday paradox (atau sejenisnya). Gw ga yakin ini yang namanya birthday paradox sampai ujian selesai. Wuw. Soalnya begini kira-kira, karena gw ga hapal persisnya:

Soal 3: Anda dan teman Anda diundang ke suatu pesta ulang tahun. Banyak tamu undangannya adalah 25 orang, termasuk Anda dan teman Anda. Kemudian teman Anda mengajak Anda taruhan. Teman Anda mengklaim bahwa pasti dari 25 orang tersebut, pasti ada sedikitnya dua orang yang hari ulang tahunnya sama (misalnya sama-sama 5 September). Apakah Anda menerima taruhannya?

Jelaskan perhitungan yang Anda lakukan. Asumsikan satu tahun terdiri dari 365 hari.

Yah, semestanya bisa dihitung 365^{25} kan. Terus, peluang semua orang ulang tahunnya berbeda-beda juga bisa dihitung, yaitu sebanyak 365 \times 634 \times \dots \times 341 alias \dfrac{365!}{340!}. Jadi, peluang semuanya lahir di hari yang berbeda-beda adalah \dfrac{365!}{340! 365^{25}}. Jadi, peluang bahwa ada dua orang atau lebih yang hari ulang tahunnya sama adalah 1-\dfrac{365!}{340!365^{25}}.

Nah, kan ceritanya gw bakal nerima taruhannya kalo peluang gw menang besar dari setengah. Ujiannya memang pakai kalkulator, tapi how the heck can my calculator do that? Gw galau dan karena masih ada dua soal esay lagi, gw tinggalin deh tuh soal.

Ternyata kegalauan gw berdampak buat soal 5 yang Spearman-Rho itu. Sampai gw ngumpulin ga nyadar kalo solusi gw salah. (Tapi gw emang ngebatu sih; udah jelas jawaban gw terlalu aneh, malah dilanjutin).

Jreng jreng, setelah yakin dengan soal 4 dan soal 5 (yang ternyata salah), gw balik ke nomor 3. Nih soal, gw galau. Mungkin sih gw ngitung 365 \times 364 \times \dots \times 341, tapi sumpah deh, malesin banget gak sih? Gw berusaha nyari-nyari bound yang bagus buat nilai yang mengerikan tersebut. Gw bahkan kepikiran buat make Aproksimasi Stirling:

n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n

wkwk tapi kayaknya lebay deh. Gw paksain semuanya besar dari 341^{25} atau kurang dari 365 \times 364^{24} terlalu jauh jaraknya dari \dfrac{1}{2}.

Akhirnya, gw sedikit bahagia, karena ternyata AM-GM berhasil! Yeay~

Jadi, dengan AM-GM kan kita punyai bahwa

365 \times 364 \times \dots \times 341 \le \left(\dfrac{365+364+\dots+341}{25}\right)^{25} = \left(\dfrac{66795-57970}{25}\right)^{25}=353^{25}.

Wah ternyata angkanya cukup bagus; gw hampir nangis.

Akhirnya…

\dfrac{365!}{340! 365^{25}} \le \dfrac{353^{25}}{365^{25}}

dan ruas kanan bisa gw itung pake kalkulator, yaitu sekitar 0,433.

Dengan demikian, karena peluang temen “Anda” itu benar jadinya 1-0.433 \approx 0.57, maka harusnya gw menolak taruhan yang dia tawarin. :3

Ujian hari ini cukup menyenangkan, meskipun gw sakit hati dengan nomor 5 esay dan soal bagian Benar-Salah yang menurut gw rada susah. Hiks hiks. Tapi tidak separah UTS Pengantar Organisasi Komputer hari Senin lah~ Abis ujian gw langsung demam dan sakit kepala.

Besok adalah UTS Perancangan dan Pemrograman Web. Gw ga nyimak kuliahnya, jadi kayaknya besok bakal catastrophic abis deh~

Yah, apapun lah itu..

Advertisements
This entry was posted in Uncategorized. Bookmark the permalink.

3 Responses to Birthday Paradox?

  1. Fujisaki eja says:

    knapa gk pke stirling aja?
    aq gk kpikiran itu bsa pke AmGm, kmu jago
    klo aq psti pke stirling

    • nivotko says:

      soalnya targetnya kan ngebuktiin lebih besar atau lebih kecil dari 1/2 kak.. hehe
      kemaren takutnya kalo make stirling kan kita gak tau errornya positif atau negatif 🙂

  2. Mufid says:

    Nice explanation ja 🙂

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s