Seleksi IMC 2011

Untuk memiliki 7 mahasiswa yang akan mewakili Indonesia di International Mathematics Competition 2011 yang akan diadakan di Blagoevgrad, Bulgaria, DIKTI mengadakan pelatihan selama tiga minggu dengan satu buah tes di setiap minggunya. Berikut adalah soal-soal yang diujikan:

TES I

Sabtu, 4 Juni 2011

Soal 1. Kerjakan soal-soal berikut:

(i) Misalkan E \subset \mathbb{R} adalah himpunan tertutup, f:E \subset \mathbb{R} adalah fungsi yang kontinu dan \{x_n\} adalah barisan Cauchy di E. Buktikan bahwa terdapat bilangan c \in E demikian sehingga \{f(x_n)\} konvergen ke f(c).

(b) Jika fungsi f:(0,1) \to \mathbb{R} kontinu dan terbatas, tunjukkan bahwa fungsi g:(0,1) \to \mathbb{R}, dengan g(x)=x(1-x)f(x) kontinu seragam.

Soal 2. Untuk setiap bilangan asli n, buktikan bahwa

\displaystyle \dfrac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \cos^{2n} (t) \, dt = \dfrac{1 \cdotp 3 \cdotp 5 \cdotp \dots \cdotp (2n-1)}{2 \cdotp 4 \cdotp 6 \cdotp \dots \cdotp (2n)}.

Soal 3. Misalkan G beraksi pada himpunan hingga \Omega. Definisikan karakter permutasi sebagai fungsi \chi:G \to \mathbb{N} \cup \{0\} di mana \chi(g) = |\{ \alpha \in \Omega: \alpha \cdotp g = \alpha\}|.

(a) Buktikan bahwa

\sum_{g \in G} \chi(g) = \sum_{\alpha \in \Omega} |G_\alpha|,

di mana G_{\alpha} menyatakan stabilizer dari \alpha di G. (G_{\alpha} = \{ g \in G : \alpha \cdotp g = \alpha\})

(b) Buktikan banyaknya orbit dari aksi G pada \Omega adalah

\displaystyle \dfrac{1}{|G|} \sum_{x \in G} \chi(x).

(c) Jika G beraksi secara transitif, buktikan terdapat g \in G yang tidak membuat tetap unsur manapun di \Omega.

CATATAN: G dikatakan beraksi secara transitif pada \Omega jika untuk setiap \alpha dan \beta terdapat g \in G sehingga \alpha \cdotp g = \beta.

Soal 4. Misalkan \mathbb{Z}^{n \times n} menyatakan himpunan matriks bilangan bulat berukuran n \times n. Buktikan bahwa untuk setiap A \in \mathbb{Z}^{n \times n}, terdapat S,T \in \mathbb{Z}^{n \times n} yang tak singular, dengan S^{-1},T^{-1} \in \mathbb{Z}^{n \times n}, sehingga matriks hasil perkalian SAT adalah matriks diagonal.

Soal 5. Andaikan G adalah graf terhubung. Sebuah cut-set S di G adalah sebuah himpunan edge-edge di G sehingga pembuangan edge-edge S dari G menyebabkan graf yag dihasilkan menjadi tak terhubung. Sebuah minimal cut-set S_0 adalah sebuah cut-set sehingga S_0 tidak mempunyai subset sejati yang juga merupakan cut-set. Perlihatkan bahwa setiap cycle mempunyai genap buah edge persekutuan dengan sembarang minimal cut-set.


TES II

Sabtu, 11 Juni 2011

Soal 1. (a) Diberikan fungsi f terdefinisi pada \mathbb{R}, dengan f(x) bernilai x^2 jika x \in \mathbb{Q} dan bernilai 0 untuk x lainnya. Tentukan \{x \in \mathbb{R}: f \, \, \text{diskontinu} \, \, \text{di} \, \, x\}. Apakah f terdiferensial di setiap x\in \mathbb{R}? Berikan penjelasan jawaban Saudara.

(b) Diketahui fungsi f:\mathbb{R} \to [0,1\infty) terdiferensial kontinu. Tunjukkan bahwa

\displaystyle \left |\int_0^1 f^3(x) dx - f^2(1) \int_0^1 f(x) dx \right | \le \mathrm{max}_{0 \le x \le 1} \left(\int_0^1 f(x) dx\right)^2.

Soal 2. Misalkan G \subset \mathbb{C} suatu domain yang memuat bola tutup \{z \in \mathbb{C}: |z-a| \le \mathbb{R}\} dan misalkan f suatu fungsi analitik pada G yang memenuhi |f(z)| \le M untuk setiap z dengan |z-a|=R. Buktikan bahwa untuk setiap w_1,w_2 \in \{z \in \mathbb{C}:|z-a| \le \dfrac{1}{2}R\} berlaku

|f(w_1)-f(w_2)| \le \dfrac{4M}{R}|w_1-w_2|.

Soal 3. Diberikan matriks tak singular M \in \mathbb{R}^{n \times n} yang memenuhi \text{trace}(X^tXM)=0 untuk setiap matriks tak singular X.

(a) Buktikan bahwa \overline{x}^t M \overline{x} = 0 untuk semua \overline{x} \in \mathbb{R}^n.

(b) Buktikan bahwa n bilangan asli genap dan \det(M) >0.

Soal 4. Misalkan G adalah himpunan bagian terkecil dari \mathbb{Q} yang memenuhi:

(i) \dfrac{1}{2} \in G, dan

(ii) jika x \in G, maka \dfrac{1}{x+1} \in G dan \dfrac{x}{x+1} \in G.

Jelaskan apakah terdapat pemetaan bijektif dari G ke himpunan berikut:

H=\{n \in \mathbb{N}:n^2 \quad \text{membagi} \quad 2^n+3^n\}.

Soal 5. Tentukan banyak pemetaan surjektif dari himpunan \{1,2,3,4,5,6\} ke himpunan \{1,2,3,4\}.


TES III

Sabtu, 18 Juni 2011

Soal 1. Tentukan semua polinomial p(x) dan q(x) dengan koefisien bilangan real demikian sehingga

p(x)q(x+1)-q(x)p(x+1)=1

untuk semua x \in \mathbb{R}.

Soal 2. Suatu permutasi (a_1,a_2,\dots,a_n) dari (1,2,\dots,n) disebut 132-avoiding jika tidak terdapat indeks i<j<k demikian sehingga p_i<p_k<p_j. Tentukan banyaknya permutasi yang 132-avoiding.

Soal 3. Misalkan k adalah bilangan asli dan (a_n)_{n=0}^{\infty} adalah barisan bilangan real dengan a_0>0 dan

a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{\sqrt[k]{a_n}}

untuk semua n \ge 0. Hitunglah

\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n^{k+1}}{n^k}.

Soal 4. Misalkan A,B \in \mathbb{C}^{n \times n} demikian sehingga AB=BA di mana bentuk kanonikal Jordan dari matriks A hanya terdiri dari sebuah blok Jordan. Tentukan semua polinomial minimal yang mungkin bagi matriks B.

Soal 5. (a) Cari semua pemetaan f yang satu-satu dan pada dari himpunan \{z \in \mathbb{C}: |\text{arg}(z)|<1\} ke \{z \in \mathbb{C}: |z|<1\}.

(b) Pada pemetaan (a), haruskah f(1)=0 dan f(2)=\frac{1}{2}.

Advertisements
This entry was posted in Uncategorized. Bookmark the permalink.

3 Responses to Seleksi IMC 2011

  1. johan says:

    1 (i) kok kayaknya jelas ya? ini salah ga: Karena {xn} Cauchy dan E tertutup, maka {xn} konvergen ke suatu limit c. Karena f kontinu, maka {f(xn)} konvergen ke f(c). Selesai?

  2. no 2 yang tes terakhir catalan number ๐Ÿ™‚

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s