ON MIPA Regional Contest

ANALISIS REAL

Soal 1. Misalkan f:(0,1) \to \mathbb{R} adalah fungsi yang kontinu dan terbatas. Buktikan bahwa fungsi g(x)=x(1-x)f(x) adalah fungsi yang kontinu seragam.

Soal 2. Misalkan himpunan E \subset \mathbb{R} tertutup. Misalkan \{x_n\} adalah barisan Cauchy di dalam E dan f adalah fungsi kontinu. Buktikan bahwa terdapat c \in E demikian sehingga barisan \{f(x_n)\} konvergen ke c.

Soal 3. Misalkan f adalah fungsi kontinu yang terdeferensiable di \mathbb{R} demikian sehingga \displaystyle \lim_{x \to \infty} f'(x) =c untuk suatu c \in \mathbb{R}. Buktikan bahwa

\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = c.


KOMBINATORIKA

Soal 1. Tentukan banyaknya bilangan bulat positif di dalam himpunan \{1,2,\dots,99999\} demikian sehingga jumlah digit-digitnya adalah 22.

Soal 2. Suatu konferensi dihadiri oleh n>1 orang. Buktikan bahwa terdapat dua orang dari mereka yang banyak temannya sama di dalam konferensi tersebut.

Soal 3. Suatu graf disebut k-reguler jika setiap simpul di dalamnya memiliki tepat k sisi. Suatu graf dengan n simpul disebut memiliki pairing match  jika terdapat n/2 sisi yang saling bebas. Buktikan bahwa sebarang graf bipartisi yang k-reguler pasti memiliki pairing match.

ANALISIS KOMPLEKS

Soal 1. Misalkan z_1,z_2,z_3 adalah bilangan kompleks dengan z_1+z_2+z_3=0 dan |z_1|=|z_2|=|z_3|=1. Buktikan bahwa z_1,z_2,z_3 membentuk segitiga sama sisi pada lingkaran satuan.

Soal 2. Misalkan

\displaystyle f(z) =\sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n

adalah fungsi dengan pole berorder 2 di 0.

(a) Definisikan fungsi baru F(z) yang analitik di semua \mathbb{C} yang diperoleh dengan mengalikan f dengan suatu fungsi sederhana yang Anda pilih.

(b) Misalkan \displaystyle F(z) = \sum_{n=0}^{\infty} c_nz^n. Nyatakan a_n dalam \{c_n\}.

(c) Tentukan \dfrac{c_{n+1}}{c_n} dan \lim\left(\dfrac{c_{n+1}}{c_n}\right).

STRUKTUR ALJABAR

Soal 1. Misalkan N adalah subgrup G. Buktikan bahwa perkalian (Na)(Nb)=N(ab) well-defined jika dan hanya jika N subgrup normal.

Soal 2. Misalkan R adalah ring komutatif. Untuk setiap r \in R, definisikan \rho_r:R \to R demikian sehingga \rho_r=ar untuk semua a \in \mathbb{R}. Buktikan bahwa \mathrm{Ker}(\rho_r(a))=\{0\} untuk semua r \in R-\{0\} jika dan hanya jika R merupakan daerah integral.

ALJABAR LINIER

Soal 1. Misalkan A=[a_{ij}]^n adalah matriks demikian sehingga a_{ij}=2 untuk semua i=j dan (-1)^{|i-j|} untuk semua i \ne j. Tentukan \det(A).

Soal 2. Misalkan G adalah operator linear demikian sehingga untuk semua matriks A \in M_2(\mathbb{R}), berlaku G(A)=A^T. Apakah G dapat didiagonalkan? Jika ya, berikan satu buah diagonalisasi dari G.

Soal 3. Misalkan v_1,v_2,\dots,v_{50} \in \mathbb{R}^{50} adalah vektor-vektor yang merentang ruang vektor V. Asumsikan bahwa semua entri v_1,v_2,\dots,v_{50} merupakan anggota himpunan \{1,2,\dots,2500\}. Tentukan nilai minimum dan maksimum dari \dim(V).

Advertisements
This entry was posted in Uncategorized. Bookmark the permalink.

3 Responses to ON MIPA Regional Contest

  1. Ikhwan says:

    aq punya soal lengkap wilayah. hehehhe.
    thanks atas soalnya.

    • nivotko says:

      Makasih Kk udah ngunjungin blog ini.
      Bagi-bagi dong 😀
      bisa dikirim ke email saya kalo berkenan ya (bisa dicek di About page kk)
      Hehe 🙂

  2. ikhwan says:

    kunjungi aja facebook aq di http://www.facebook.com/profile.php?id=100001594754565#!/rikhwanulbukansuperstar. nanti ku tag soalnya. hehehe

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s